증명 쓰는 법Writing Proofs

GeometryGeometry · 1. 논증의 기초1. Reasoning & Proof

학습 목표

증명에서 근거로 허용되는 것(주어진 조건·정의·공리·앞선 정리·등식의 성질)을 구분할 수 있다.
방정식 풀이를 근거가 달린 두 칸 증명으로 다시 쓸 수 있다.
선분과 각에 대한 첫 정리들을 두 칸 증명과 서술 증명으로 쓸 수 있다.
결론에서 거꾸로 계획을 세워 증명의 길을 찾을 수 있다.

증명은 근거가 달린 글이다

증명이란 별것이 아니다 — 모든 주장 옆에 근거가 달린 글이다. 다만 아무거나 근거가 될 수는 없다. 허용되는 근거는 네 갈래뿐이다:

주어진 조건 — 문제가 공짜로 쥐여 준 사실.
정의 — 낱말의 뜻 그 자체. 양방향으로 쓸 수 있다(지난 차시).
공리 — 출발점으로 약속한 문장.
이미 증명된 정리 — 앞서 쌓아 둔 층.

이 목록에 없는 것은 근거가 아니다. "그림에서 그렇게 보인다"도, "자로 재 보니 그랬다"도 탈락이다. 그림은 생각을 안내하는 지도이지 근거가 아니다 — 지도가 특별하게 그려져 있으면(이를테면 문제의 삼각형을 하필 정삼각형처럼 그렸다면) 지도만 믿은 논증은 그 특별한 경우에만 통하는 반쪽짜리가 된다. 그리는 것은 얼마든지 좋다. 다만 근거 칸에는 못 들어온다.

대수에서 가져오는 허가증

사실 근거 목록에는 식구가 더 있다 — 방정식을 풀 때부터 쓰던 등식의 성질이다. 수는 길이와 각의 크기로 기하에 늘 들어와 있으므로, 수를 다루는 규칙도 그대로 근거가 된다.

성질	내용
덧셈·뺄셈 성질	$a = b$ 이면 $a + c = b + c$ , $a - c = b - c$
곱셈·나눗셈 성질	$a = b$ 이면 $ac = bc$ , ( $c \neq 0$ 일 때) $a \div c = b \div c$
대입	$a = b$ 이면 어느 식에서든 $a$ 자리에 $b$ 를 쓸 수 있다
반사성	$a = a$
대칭성	$a = b$ 이면 $b = a$
추이성	$a = b$ 이고 $b = c$ 이면 $a = c$

아래 세 줄이 낯설게 격식을 차렸을 뿐, 전부 뻔한 사실이다. 그런데 증명에서는 뻔한 것일수록 이름이 필요하다 — 곧 그 이유를 보게 된다.

첫 훈련: 늘 하던 일에 근거 달기

증명 형식 중 가장 훈련하기 좋은 것이 두 칸 증명이다. 왼 칸에 문장을, 오른 칸에 그 문장의 근거를 적는다. 첫 줄은 대개 주어진 조건, 마지막 줄은 보이려던 결론이다.

낯선 도형 말고, 이미 아는 일에서 시작하자 — 방정식 풀이도 사실은 증명이었다.

예제 1 · 방정식 풀이의 정체

" $2x + 5 = 13$ 이면 $x = 4$ 다"를 두 칸으로 증명하여라.

문장	근거
$2x + 5 = 13$	주어진 조건
$2x = 8$	등식의 뺄셈 성질 — 양변에서 $5$ 를 뺌
$x = 4$	등식의 나눗셈 성질 — 양변을 $2$ 로 나눔

늘 하던 풀이에 오른 칸이 하나 붙었을 뿐이다. 증명은 낯선 활동이 아니라, 하던 일을 정색하고 하는 것이다.

첫 기하 증명: 겹친 선분

이제 도형 차례다. 한 직선 위에 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 가 이 순서로 있고 $AB = CD$ 라 하자. 그러면 겹친 두 선분도 같다: $AC = BD$ .

짧은 토막 AB = CD (눈금 표시), 겹친 토막 AC와 BD.

문장	근거
① $AB = CD$	주어진 조건
② $BC = BC$	반사성
③ $AB + BC = CD + BC$	①, ②를 변끼리 더함 — 등식의 덧셈 성질
④ $AB + BC = AC$	선분의 덧셈 공리
⑤ $CD + BC = BD$	선분의 덧셈 공리 (와 덧셈의 교환법칙)
⑥ $AC = BD$	③의 두 변을 ④, ⑤로 바꿔 씀 — 대입

②를 보라. " $BC = BC$ " — 세상에서 가장 뻔한 문장이 한 줄을 차지했다. 이것이 반사성의 일이다: 양변에 더할 "같은 것"을 무대 위에 공식적으로 올리는 절차. 증명에서는 아무리 뻔해도 무대 밖의 것을 쓸 수 없기 때문에, 뻔한 것에도 등장 절차가 있다.

같은 증명, 문장으로

두 칸이 유일한 형식은 아니다. 같은 증명을 서술 증명으로 쓰면:

$AB = CD$ 가 주어져 있다. 양변에 $BC$ 를 더하면 $AB + BC = CD + BC$ . 그런데 선분의 덧셈 공리로 왼변은 $AC$ , 오른변은 $BD$ 다. 따라서 $AC = BD$ . $\blacksquare$

(끝의 $\blacksquare$ 는 "증명 끝"을 알리는 관례 기호다.) 담긴 논리는 두 칸과 한 글자도 다르지 않다 — 형식은 그릇이고, 채점되는 것은 논리다. 근거가 다 달려 있고 빠진 단계가 없으면, 어느 그릇이든 만점이다.

두 번째 기하 증명: 맞꼭지각, 정식으로

맞꼭지각이 서로 같다는 논증은 이미 안다. 오늘은 그 논증에 제복을 입힌다. 아래 그림에서 $\angle 1 = \angle 3$ 을 증명하자. (등식 안의 $\angle 1$ 은 각의 크기를 뜻하는 관례 표기다. 한 직선이 이루는 평각이 $180°$ 라는 것은 공리로 쓴다.)

두 직선이 만나 생긴 각 1, 2, 3.

문장	근거
① $\angle 1 + \angle 2 = 180°$	두 각이 함께 한 직선의 평각을 이룸
② $\angle 2 + \angle 3 = 180°$	두 각이 함께 다른 직선의 평각을 이룸
③ $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$	①, ②와 추이성 — 둘 다 $180°$ 와 같다
④ $\angle 1 = \angle 3$	등식의 뺄셈 성질 — 양변에서 $\angle 2$ 를 뺌

이로써 맞꼭지각 정리는 우리 건물의 정식 층이 되었다. 앞으로는 "맞꼭지각 정리"가 근거 칸에 들어올 수 있다 — 정리를 하나 증명할 때마다 다음 증명의 도구가 하나 늘어나는 것, 이것이 이 건물이 자라는 방식이다.

증명의 길은 거꾸로 찾는다

완성된 증명은 위에서 아래로 흐르지만, 찾을 때는 거꾸로가 빠르다. 겹친 선분 증명을 실제로 찾던 순서는 이랬다:

결론 $AC = BD$ 에서 후진한다. $AC$ 가 뭐더라 — $AB + BC$ 다. $BD$ 는 — $BC + CD$ 다. 그러니 $AB + BC = BC + CD$ 를 보이면 충분하다. 양쪽의 공통 조각 $BC$ 를 지우면 남는 것은 $AB = CD$ — 그건 주어져 있다! 후진이 주어진 조건에 닿는 순간 길은 뚫린 것이고, 이제 그 길을 앞 방향으로 옮겨 적기만 하면 된다.

보일 것에서 출발해 "이걸 얻으려면 무엇이면 충분한가"를 되묻는 것 — 앞으로 만날 모든 증명 문제에서 첫손에 꼽는 요령이다.

참고

두 칸 증명은 자전거의 보조 바퀴다. 근거를 빠뜨리는 습관을 초장에 잡아 주기 때문에 당분간 즐겨 쓰지만, 목적지는 형식이 아니라 모든 주장에 근거가 살아 있는 글이다. 수학자들의 실제 증명은 대부분 서술형이다. 이 과정에서도 두 형식을 오가며 쓴다 — 다음 단원부터 각과 평행선에서 본격적인 정리 사냥이 시작된다.

Goals

Tell apart what counts as a reason in a proof: given information, definitions, postulates, earlier theorems, and the properties of equality.
Rewrite an equation solution as a two-column proof with reasons.
Prove first theorems about segments and angles in both two-column and paragraph form.
Find a proof by planning backward from the conclusion.

A proof is writing with reasons attached

A proof is nothing exotic — it is writing in which every claim carries a reason. But not just anything qualifies as a reason. Exactly four kinds are admitted:

Given information — facts the problem hands you for free.
Definitions — the meanings of words, usable in both directions (last lesson).
Postulates — the sentences agreed on as starting points.
Theorems already proved — the floors built so far.

Nothing outside this list is a reason. "It looks that way in the figure" fails; so does "I measured it with a ruler." A figure is a map that guides your thinking, not a reason — and if the map happens to be drawn specially (say, the problem's triangle happens to look equilateral), an argument leaning on the map holds only for that special case. Draw all you like. The drawing just never enters the reason column.

Permits imported from algebra

The reason list actually has more members — the properties of equality you have used since your first equation. Numbers enter geometry constantly, as lengths and angle measures, so the rules for handling numbers come along as reasons.

Property	Statement
Addition/subtraction	if $a = b$ , then $a + c = b + c$ and $a - c = b - c$
Multiplication/division	if $a = b$ , then $ac = bc$ , and (for $c \neq 0$ ) $a \div c = b \div c$
Substitution	if $a = b$ , then $b$ may replace $a$ in any expression
Reflexive	$a = a$
Symmetric	if $a = b$ , then $b = a$
Transitive	if $a = b$ and $b = c$ , then $a = c$

The last three dress up obvious facts in formal wear. But in proofs, the obvious especially needs a name — you are about to see why.

First training: attach reasons to what you already do

The friendliest format to train in is the two-column proof: statements on the left, the reason for each statement on the right. The first line is usually the given; the last line is what you set out to show.

Rather than starting with unfamiliar figures, start with familiar work — solving an equation was a proof all along.

Example 1 · What equation-solving really was

Prove in two columns: "if $2x + 5 = 13$ , then $x = 4$ ."

Statement	Reason
$2x + 5 = 13$	Given
$2x = 8$	Subtraction property — $5$ subtracted from both sides
$x = 4$	Division property — both sides divided by $2$

Your usual solution, plus one column. Proof is not a new activity — it is the old activity with a straight face.

A first geometry proof: overlapping segments

Now for figures. Let $A$ , $B$ , $C$ , $D$ lie on a line in that order, with $AB = CD$ . Then the overlapping segments match too: $AC = BD$ .

Short pieces AB = CD (tick marks); overlapping pieces AC and BD.

Statement	Reason
① $AB = CD$	Given
② $BC = BC$	Reflexive property
③ $AB + BC = CD + BC$	Add ① and ② side by side — addition property
④ $AB + BC = AC$	Segment Addition Postulate
⑤ $CD + BC = BD$	Segment Addition Postulate (plus commutativity of addition)
⑥ $AC = BD$	Rewrite both sides of ③ using ④ and ⑤ — substitution

Look at ②. " $BC = BC$ " — the most obvious sentence in the world takes up a whole line. That is the reflexive property's job: it formally brings on stage the "same thing" you are about to add to both sides. In a proof, nothing off-stage may be used, however obvious — so even the obvious gets an entrance procedure.

The same proof, in sentences

Two columns are not the only format. The same proof as a paragraph proof:

We are given $AB = CD$ . Adding $BC$ to both sides gives $AB + BC = CD + BC$ . By the Segment Addition Postulate, the left side is $AC$ and the right side is $BD$ . Therefore $AC = BD$ . $\blacksquare$

(The $\blacksquare$ at the end is the customary "end of proof" mark.) The logic is identical to the two-column version, letter for letter — the format is a container; what gets graded is the logic. If every claim carries its reason and no step is missing, any container earns full credit.

A second geometry proof: vertical angles, in uniform

You already know the argument that vertical angles are equal. Today it puts on the uniform. In the figure below, prove $\angle 1 = \angle 3$ . (Inside equations, $\angle 1$ denotes the angle's measure — the standard shorthand. That a straight line makes a straight angle of $180°$ is used as a postulate.)

Angles 1, 2, 3 formed by two crossing lines.

Statement	Reason
① $\angle 1 + \angle 2 = 180°$	Together they form the straight angle of one line
② $\angle 2 + \angle 3 = 180°$	Together they form the straight angle of the other line
③ $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$	①, ② and transitivity — both equal $180°$
④ $\angle 1 = \angle 3$	Subtraction property — $\angle 2$ subtracted from both sides

With that, the Vertical Angles Theorem becomes an official floor of our building. From now on, "Vertical Angles Theorem" may appear in a reason column — every theorem proved is a new tool for the next proof. That is how this building grows.

Proofs are found backward

A finished proof flows top to bottom, but finding one goes the other way. Here is the actual order in which the overlapping-segments proof was found:

Back up from the conclusion $AC = BD$ . What is $AC$ ? It is $AB + BC$ . And $BD$ ? It is $BC + CD$ . So it is enough to show $AB + BC = BC + CD$ . Cancel the shared piece $BC$ from both sides and what remains is $AB = CD$ — which is given! The moment your backward march touches the given, the route is open; all that remains is to write the route out in the forward direction.

Starting from the goal and repeatedly asking "what would be enough to get this?" — of all the habits for proof-finding, this is the first one to build.

Note

Two-column proofs are training wheels. They break the habit of skipping reasons, so we will use them happily for a while — but the destination is not a format; it is writing in which every claim has a living reason. Working mathematicians write mostly in paragraphs. This course moves between the two forms freely — and starting next unit, with angles and parallel lines, the real theorem hunt begins.

몸풀기Warm-up

배운 것을 그대로 손에 익히는 단계straightforward practice to get moving

문제Problem 1 몸풀기Warm-up

다음 풀이의 각 단계에 근거를 달아라.

3x - 7 = 11 \;\xrightarrow{\;\text{(가)}\;}\; 3x = 18 \;\xrightarrow{\;\text{(나)}\;}\; x = 6

Attach a reason to each step of this solution.

3x - 7 = 11 \;\xrightarrow{\;\text{(a)}\;}\; 3x = 18 \;\xrightarrow{\;\text{(b)}\;}\; x = 6

정답과 풀이Answer & solution

정답 · (가) 등식의 덧셈 성질(양변에

7

을 더함) (나) 등식의 나눗셈 성질(양변을

3

으로 나눔)

Answer · (a) Addition property of equality (

7

added to both sides) (b) Division property (both sides divided by

3

)

(가) 양변에 $7$ 을 더했다 — 등식의 덧셈 성질. (나) 양변을 $3$ 으로 나눴다 — 등식의 나눗셈 성질( $3 \neq 0$ ).

검산: $3(6) - 7 = 18 - 7 = 11$ ✓.

(a) $7$ was added to both sides — the addition property. (b) Both sides were divided by $3$ — the division property ( $3 \neq 0$ ).

Check: $3(6) - 7 = 18 - 7 = 11$ ✓.

문제Problem 2 몸풀기Warm-up

각 문장이 등식의 어느 성질인지 이름을 대어라.

(a) $CD = CD$ (b) $AB = EF$ 이고 $EF = GH$ 이면 $AB = GH$ 다. (c) $\angle A = \angle B$ 이면 $\angle B = \angle A$ 다.

Name the property of equality in each sentence.

(a) $CD = CD$ (b) If $AB = EF$ and $EF = GH$ , then $AB = GH$ . (c) If $\angle A = \angle B$ , then $\angle B = \angle A$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 · (a) 반사성 (b) 추이성 (c) 대칭성

Answer · (a) Reflexive (b) Transitive (c) Symmetric

(a) 자기 자신과 같다 — 반사성. (b) 같음이 사슬을 타고 전달된다 — 추이성. (c) 등식은 좌우를 바꿔 읽어도 된다 — 대칭성.

(a) Equal to itself — reflexive. (b) Equality passed along a chain — transitive. (c) An equation reads the same right-to-left — symmetric.

문제Problem 3 몸풀기Warm-up

$M$ 은 $\overline{AB}$ 의 중점이고 $AB = 4x$ 다. $AM$ 을 $x$ 로 나타내라.

$M$ is the midpoint of $\overline{AB}$ , and $AB = 4x$ . Express $AM$ in terms of $x$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

AM = 2x

Answer ·

AM = 2x

중점은 선분을 반으로 가르므로 $AM = \tfrac12 \cdot 4x = 2x$ .

답이 수가 아니라 식이어도 어색할 것 없다 — $x$ 가 무엇이든 통하는 한 줄짜리 일반 진술이다.

A midpoint halves the segment: $AM = \tfrac12 \cdot 4x = 2x$ .

An expression instead of a number is nothing to flinch at — it is a one-line general statement, valid whatever $x$ is.

문제Problem 4 몸풀기Warm-up

다음 중 증명의 근거 칸에 들어갈 자격이 있는 것을 모두 골라라.

(a) 그림에서 $\angle 1$ 이 $\angle 2$ 보다 커 보인다. (b) 두 점을 지나는 직선은 오직 하나다. (c) 자로 재 보니 두 변의 길이가 같았다. (d) 중점의 정의

Which of the following are qualified to enter the reason column of a proof? Choose all that apply.

(a) In the figure, $\angle 1$ looks bigger than $\angle 2$ . (b) Exactly one line passes through two given points. (c) Measuring with a ruler showed two sides equal. (d) The definition of midpoint

정답과 풀이Answer & solution

정답 · (b), (d)

Answer · (b), (d)

근거가 될 수 있는 것은 주어진 조건, 정의, 공리, 이미 증명된 정리(그리고 등식의 성질)뿐이다. (b)는 공리, (d)는 정의 — 자격이 있다. (a)는 그림에 기댄 인상이고 (c)는 측정이다 — 그림은 지도이지 근거가 아니고, 측정은 그 한 번의 사례만 말해 준다.

Admissible reasons are: given information, definitions, postulates, theorems already proved (and the properties of equality). (b) is a postulate and (d) is a definition — qualified. (a) is an impression from a picture and (c) is a measurement — a figure is a map, not a reason, and a measurement speaks only for its single case.

핵심Core

이 차시의 목표 수준the target level for this lesson

문제Problem 5 핵심Core

한 직선 위에 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 가 이 순서로 있고 $AC = BD$ 다. $AB = CD$ 를 증명하는 아래 두 칸 증명의 빈칸 (가), (나), (다)를 채워라.

문장	근거
① $AC = BD$	주어진 조건
② $AB + BC = AC$	(가)
③ $BC + CD = BD$	선분의 덧셈 공리
④ $AB + BC = BC + CD$	(나)
⑤ $AB = CD$	(다)

Points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ lie on a line in that order, with $AC = BD$ . Fill in blanks (a), (b), (c) in this two-column proof that $AB = CD$ .

Statement	Reason
① $AC = BD$	Given
② $AB + BC = AC$	(a)
③ $BC + CD = BD$	Segment Addition Postulate
④ $AB + BC = BC + CD$	(b)
⑤ $AB = CD$	(c)

정답과 풀이Answer & solution

정답 · (가) 선분의 덧셈 공리 (나) ①에 ②, ③을 대입 (다) 등식의 뺄셈 성질 — 양변에서

BC

를 뺌

Answer · (a) Segment Addition Postulate (b) Substitute ② and ③ into ① (c) Subtraction property —

BC

subtracted from both sides

② $B$ 가 $A$ 와 $C$ 사이에 있으므로 선분의 덧셈 공리. ④ ①의 왼변 $AC$ 를 ②로, 오른변 $BD$ 를 ③으로 바꿔 썼다 — 대입. ⑤ ④의 양변에서 $BC$ 를 뺐다 — 등식의 뺄셈 성질.

본문에서 증명한 "겹친 선분" 정리와 방향이 반대인 짝이다 — 그쪽은 짧은 토막이 같을 때 긴 토막이 같음을(덧셈), 이쪽은 긴 토막이 같을 때 짧은 토막이 같음을(뺄셈) 준다.

② $B$ is between $A$ and $C$ — the Segment Addition Postulate. ④ The sides of ① were rewritten using ② and ③ — substitution. ⑤ $BC$ was subtracted from both sides of ④ — the subtraction property of equality.

This is the mirror twin of the overlapping-segments theorem proved in the lesson: that one turned equal short pieces into equal long ones (addition); this one turns equal long pieces into equal short ones (subtraction).

문제Problem 6 핵심Core

$M$ 은 $\overline{AB}$ 의 중점이고 $AM = 3x + 4$ , $MB = 5x - 8$ 이다. $AB$ 를 구하여라.

$M$ is the midpoint of $\overline{AB}$ , with $AM = 3x + 4$ and $MB = 5x - 8$ . Find $AB$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

AB = 44

Answer ·

AB = 44

중점의 정의로 $AM = MB$ :

3x + 4 = 5x - 8 \implies 12 = 2x \implies x = 6.

$AM = 3(6) + 4 = 22$ , $MB = 5(6) - 8 = 22$ — 같다 ✓. 따라서 $AB = 22 + 22 = 44$ .

By the definition of midpoint, $AM = MB$ :

3x + 4 = 5x - 8 \implies 12 = 2x \implies x = 6.

Then $AM = 3(6) + 4 = 22$ and $MB = 5(6) - 8 = 22$ — equal ✓. So $AB = 22 + 22 = 44$ .

문제Problem 7 핵심Core 증명proof

$M$ 이 $\overline{AB}$ 의 중점이면 $AB = 2 \cdot AM$ 임을 증명하여라. (두 칸이든 서술이든 좋다.)

Prove: if $M$ is the midpoint of $\overline{AB}$ , then $AB = 2 \cdot AM$ . (Two-column or paragraph — your choice.)

힌트Hint

중점의 정의에서 무엇을 꺼낼 수 있고, 선분의 덧셈에서 무엇을 꺼낼 수 있는가?

What does the definition of midpoint hand you, and what does segment addition hand you?

풀이와 채점 기준Solution & grading notes

문장	근거
① $M$ 은 $\overline{AB}$ 의 중점	주어진 조건
② $AM = MB$	중점의 정의
③ $AM + MB = AB$	선분의 덧셈 공리 ( $M$ 이 $A$ , $B$ 사이)
④ $AM + AM = AB$	③의 $MB$ 를 ②로 바꿔 씀 — 대입
⑤ $AB = 2 \cdot AM$	④를 정리 (같은 것 두 개의 합 = $2$ 배), 대칭성

채점 기준. ① 중점의 정의에서 $AM = MB$ 를 꺼냄(1점) ② 선분의 덧셈 공리로 $AM + MB = AB$ (1점) ③ 대입·정리로 결론 도달(1점). 형식은 무관 — 근거가 완전한 서술 증명도 만점.

Statement	Reason
① $M$ is the midpoint of $\overline{AB}$	Given
② $AM = MB$	Definition of midpoint
③ $AM + MB = AB$	Segment Addition Postulate ( $M$ is between $A$ and $B$ )
④ $AM + AM = AB$	Replace $MB$ in ③ using ② — substitution
⑤ $AB = 2 \cdot AM$	Simplify ④ (a sum of two equal terms is twice one of them), symmetric property

Grading. ① Extracts $AM = MB$ from the definition (1 pt) ② uses segment addition for $AM + MB = AB$ (1 pt) ③ substitutes and simplifies to the conclusion (1 pt). Format free — a fully reasoned paragraph earns full credit.

문제Problem 8 핵심Core 증명proof

세 각의 크기가 $\angle 1 + \angle 3 = 180°$ 와 $\angle 2 + \angle 3 = 180°$ 를 만족한다. $\angle 1 = \angle 2$ 임을 증명하여라.

Three angle measures satisfy $\angle 1 + \angle 3 = 180°$ and $\angle 2 + \angle 3 = 180°$ . Prove that $\angle 1 = \angle 2$ .

힌트Hint

맞꼭지각 정리의 증명과 같은 뼈대다 — 두 등식이 같은 값과 같다.

Same skeleton as the vertical angles proof — two equations equal the same value.

풀이와 채점 기준Solution & grading notes

문장	근거
① $\angle 1 + \angle 3 = 180°$	주어진 조건
② $\angle 2 + \angle 3 = 180°$	주어진 조건
③ $\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 3$	①, ②와 추이성 — 둘 다 $180°$ 와 같다
④ $\angle 1 = \angle 2$	등식의 뺄셈 성질 — 양변에서 $\angle 3$ 을 뺌

맞꼭지각 정리를 증명할 때 쓴 뼈대 그대로다 — 사실 이 문제가 그 정리의 알맹이고, "같은 각과 더해 평각을 이루는 두 각은 서로 같다"라는 일반 정리다. 각의 쌍을 다루는 다음 단원에서 이 정리는 제 이름을 얻는다.

채점 기준. ① 두 합이 같음을 잇는 단계(추이성 또는 대입)(1점) ② $\angle 3$ 을 지우는 단계와 그 근거(뺄셈 성질)(1점) ③ 모든 단계에 근거가 달려 있음(1점). 논리가 맞는 다른 구성도 만점.

Statement	Reason
① $\angle 1 + \angle 3 = 180°$	Given
② $\angle 2 + \angle 3 = 180°$	Given
③ $\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 3$	①, ② and transitivity — both equal $180°$
④ $\angle 1 = \angle 2$	Subtraction property — $\angle 3$ subtracted from both sides

The very skeleton of the vertical angles proof — in fact this is that theorem's core, stated generally: "two angles supplementing the same angle are equal to each other." It earns its official name next unit, with the angle pairs.

Grading. ① Links the two sums (transitivity or substitution) (1 pt) ② removes $\angle 3$ with the stated reason (subtraction property) (1 pt) ③ every step carries a reason (1 pt). Any sound arrangement earns full credit.

문제Problem 9 핵심Core 서술형written response

한 직선 위에 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 가 이 순서로 있고 $AB = CD$ 다. 어떤 학생이 $AC = BD$ 를 이렇게 "증명"했다.

문장	근거
① $AB = CD$	주어진 조건
② $AB = BC$	그림을 보면 $B$ 가 $\overline{AC}$ 의 한가운데다
③ $AC = 2 \cdot AB$ , $BD = 2 \cdot AB$	①, ②와 선분의 덧셈 공리
④ $AC = BD$	③과 추이성

이 증명의 결함을 지적하고, 왜 그 단계가 허용되지 않는지 설명하여라.

Points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ lie on a line in that order, with $AB = CD$ . A student "proves" $AC = BD$ like this.

Statement	Reason
① $AB = CD$	Given
② $AB = BC$	The figure shows $B$ right in the middle of $\overline{AC}$
③ $AC = 2 \cdot AB$ , $BD = 2 \cdot AB$	①, ② and the Segment Addition Postulate
④ $AC = BD$	③ and transitivity

Identify the flaw and explain why that step is not allowed.

힌트Hint

각 줄의 근거가 허용 목록(주어진 조건·정의·공리·앞선 정리·등식의 성질)에 있는가?

Check each reason against the admitted list: given, definitions, postulates, earlier theorems, properties of equality.

풀이와 채점 기준Solution & grading notes

결함은 ②다. " $B$ 가 한가운데"라는 것은 주어진 조건에 없고, 어떤 정의·공리·정리에서도 나오지 않는다 — 근거가 "그림을 보면"뿐인데, 그림은 지도이지 근거가 아니다. 그림이 우연히 $B$ 를 가운데쯤 그렸을 뿐, 문제의 조건은 $B$ 가 어디든( $A$ 와 $C$ 사이 어느 위치든) 허용한다.

실제로 ②가 무너지는 배치는 얼마든지 있다: $A=0$ , $B=1$ , $C=10$ , $D=11$ 이면 $AB = CD = 1$ 이지만 $BC = 9 \neq AB$ . 이 배치에서도 결론 $AC = BD = 10$ 은 참이다 — 결론이 참인 것과 증명이 옳은 것은 별개다. 올바른 길은 본문의 증명처럼 양변에 $BC$ 를 더하는 것이다.

채점 기준. ① 결함이 ②임을 지목(1점) ② 그림·무근거 주장이 허용되지 않는 이유 설명(1점) ③ ②가 실제로 거짓이 되는 배치 제시 또는 올바른 증명 제시(1점).

The flaw is ②. " $B$ is in the middle" appears nowhere in the given information and follows from no definition, postulate, or theorem — its only support is "the figure shows," and a figure is a map, not a reason. The drawing merely happened to place $B$ near the middle; the problem's conditions allow $B$ anywhere between $A$ and $C$ .

Arrangements where ② fails are easy to make: $A = 0$ , $B = 1$ , $C = 10$ , $D = 11$ gives $AB = CD = 1$ but $BC = 9 \neq AB$ . Note that the conclusion $AC = BD = 10$ still holds there — a true conclusion does not make a proof correct. The honest route is the lesson's proof: add $BC$ to both sides.

Grading. ① Flags step ② (1 pt) ② explains why picture-based/unsupported claims are inadmissible (1 pt) ③ exhibits an arrangement where ② is false, or supplies a correct proof (1 pt).

도전Challenge

아이디어를 결합해야 풀리는 문제problems that take more than one idea

문제Problem 10 도전Challenge

한 직선 위에 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 가 이 순서로 있다. $B$ 는 $\overline{AC}$ 의 중점이고 $C$ 는 $\overline{AD}$ 의 중점이며 $BC = 6$ 이다. $AD$ 를 구하여라.

Points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ lie on a line in that order. $B$ is the midpoint of $\overline{AC}$ , $C$ is the midpoint of $\overline{AD}$ , and $BC = 6$ . Find $AD$ .

힌트Hint

중점의 정의를 두 번 — 어느 선분의 중점인지 매번 정확히.

Use the midpoint definition twice — being precise, each time, about the midpoint of what.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

AD = 24

Answer ·

AD = 24

$B$ 가 $\overline{AC}$ 의 중점이므로 $AB = BC = 6$ , 따라서 $AC = 12$ . $C$ 가 $\overline{AD}$ 의 중점이므로 $CD = AC = 12$ . 그러므로

AD = AC + CD = 12 + 12 = 24.

검산: $A = 0$ , $B = 6$ , $C = 12$ , $D = 24$ — $B$ 는 $0$ 과 $12$ 의 한가운데 ✓, $C$ 는 $0$ 과 $24$ 의 한가운데 ✓, $BC = 6$ ✓. 두 중점의 "무엇의" 중점인지가 다르다는 것( $\overline{AC}$ 와 $\overline{AD}$ )을 놓치면 길을 잃는 문제다.

$B$ is the midpoint of $\overline{AC}$ , so $AB = BC = 6$ and $AC = 12$ . $C$ is the midpoint of $\overline{AD}$ , so $CD = AC = 12$ . Therefore

AD = AC + CD = 12 + 12 = 24.

Check: $A = 0$ , $B = 6$ , $C = 12$ , $D = 24$ — $B$ is halfway from $0$ to $12$ ✓, $C$ halfway from $0$ to $24$ ✓, $BC = 6$ ✓. The trap is sliding over whose midpoint each point is ( $\overline{AC}$ versus $\overline{AD}$ ).

문제Problem 11 도전Challenge

두 직선이 한 점에서 만나 생긴 맞꼭지각 한 쌍의 크기가 각각 $(3x + 10)°$ 와 $(5x - 30)°$ 다. $x$ 와, 이 각의 이웃각의 크기를 구하여라.

Two lines cross, and one pair of vertical angles measures $(3x + 10)°$ and $(5x - 30)°$ . Find $x$ and the measure of an angle adjacent to this pair.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

x = 20

, 이웃각

110°

Answer ·

x = 20

; the adjacent angle is

110°

맞꼭지각 정리(이 차시에서 증명 완료 — 이제 근거로 쓸 수 있다)로 두 크기가 같다:

3x + 10 = 5x - 30 \implies 40 = 2x \implies x = 20.

각의 크기는 $3(20) + 10 = 70°$ (검산: $5(20) - 30 = 70°$ ✓). 이웃각은 함께 평각을 이루므로 $180 - 70 = 110°$ .

검산: 네 각은 $70°, 110°, 70°, 110°$ — 합 $360°$ ✓.

By the Vertical Angles Theorem (proved this lesson — so it may now serve as a reason), the two measures are equal:

3x + 10 = 5x - 30 \implies 40 = 2x \implies x = 20.

The angle measures $3(20) + 10 = 70°$ (check: $5(20) - 30 = 70°$ ✓). An adjacent angle completes a straight angle: $180 - 70 = 110°$ .

Check: the four angles are $70°, 110°, 70°, 110°$ , summing to $360°$ ✓.

경시Contest

대회 스타일competition style

문제Problem 12 경시Contest

한 직선 위에 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 가 이 순서로 있다. $AC = 15$ , $BD = 17$ , $AD = 24$ 일 때 $BC$ 를 구하여라.

Points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ lie on a line in that order, with $AC = 15$ , $BD = 17$ , and $AD = 24$ . Find $BC$ .

힌트Hint

$AC$ 와 $BD$ 를 더하면 어떤 토막이 두 번 세어지는가?

Add $AC$ and $BD$ — which piece gets counted twice?

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

BC = 8

Answer ·

BC = 8

$AC = AB + BC$ 이고 $BD = BC + CD$ 이므로 두 식을 더하면

AC + BD = AB + BC + CD + BC = AD + BC.

겹친 토막 $BC$ 가 두 번 세어진 것이다. 수를 넣으면

15 + 17 = 24 + BC \implies BC = 8.

검산: $AB = AD - BD = 24 - 17 = 7$ , $CD = AD - AC = 24 - 15 = 9$ . 위치로 $A = 0$ , $B = 7$ , $C = 15$ , $D = 24$ — $AC = 15$ ✓, $BD = 17$ ✓, $BC = 8$ ✓, 그리고 $7 + 8 + 9 = 24$ ✓.

Since $AC = AB + BC$ and $BD = BC + CD$ , adding the two gives

AC + BD = AB + BC + CD + BC = AD + BC

— the overlap $BC$ is counted twice. With numbers,

15 + 17 = 24 + BC \implies BC = 8.

Check: $AB = AD - BD = 24 - 17 = 7$ and $CD = AD - AC = 24 - 15 = 9$ . Placing $A = 0$ , $B = 7$ , $C = 15$ , $D = 24$ : $AC = 15$ ✓, $BD = 17$ ✓, $BC = 8$ ✓, and $7 + 8 + 9 = 24$ ✓.

문제Problem 13 경시Contest

그림처럼 반직선 $OB$ 와 $OC$ 가 $\angle AOD$ 의 내부에 있고

\angle AOB = \angle COD = 90°, \qquad \angle AOD = 130°

이다. $\angle BOC$ 를 구하여라.

O에서 나온 네 반직선 — 90°짜리 두 각이 겹쳐 있다.

As in the figure, rays $OB$ and $OC$ lie inside $\angle AOD$ , with

\angle AOB = \angle COD = 90°, \qquad \angle AOD = 130°.

Find $\angle BOC$ .

Four rays from O — two 90° angles overlapping.

힌트Hint

앞 문제의 선분들과 같은 뼈대다 — 두 각을 더하면 무엇이 두 번 세어지는가?

Same skeleton as the previous problem's segments — add the two angles, and what gets counted twice?

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

\angle BOC = 50°

Answer ·

\angle BOC = 50°

반직선이 $OA$ , $OC$ , $OB$ , $OD$ 순서로 벌어져 있으므로(두 직각이 겹치려면 이 순서일 수밖에 없다), 각의 덧셈으로

\angle AOB + \angle COD = (\angle AOC + \angle COB) + (\angle COB + \angle BOD) = \angle AOD + \angle BOC.

겹친 $\angle COB$ 가 두 번 세어졌다. 수를 넣으면

90 + 90 = 130 + \angle BOC \implies \angle BOC = 50°.

검산: $\angle AOC = 90 - 50 = 40°$ , $\angle BOD = 90 - 50 = 40°$ , $40 + 50 + 40 = 130$ ✓.

앞 문제와 나란히 놓고 보라 — 선분이 각으로 바뀌었을 뿐 논증의 뼈대는 글자 하나까지 같다. 한 번 세운 논증은 다른 대상에서 공짜로 다시 일한다. 증명을 배우는 가장 큰 보상이 이것이다.

The rays open in the order $OA$ , $OC$ , $OB$ , $OD$ (two overlapping right angles force this order), so angle addition gives

\angle AOB + \angle COD = (\angle AOC + \angle COB) + (\angle COB + \angle BOD) = \angle AOD + \angle BOC

— the shared $\angle COB$ is counted twice. With numbers,

90 + 90 = 130 + \angle BOC \implies \angle BOC = 50°.

Check: $\angle AOC = 90 - 50 = 40°$ , $\angle BOD = 90 - 50 = 40°$ , and $40 + 50 + 40 = 130$ ✓.

Set this beside the previous problem — segments became angles, and the argument's skeleton repeats to the letter. An argument built once works again on new objects, free of charge. That is the great payoff of learning proof.