원의 방정식Equations of Circles

표준형에 대입한다:

$y$쪽 부호($+3$)와 우변($16$, $r$가 아니라 $r^2$)이 확인 지점이다.

Substitute into the standard form:

The checkpoints: the sign on the $y$ term ($+3$) and the right side ($16$ — that is $r^2$, not $r$).

$(x + 1) = (x - (-1))$이므로 중심은 $(-1, 5)$, 반지름은 $\sqrt9 = 3$.

읽기는 항상 "$x - {}$무엇, $y - {}$무엇" 꼴로 고쳐서 — 부호 뒤집힘을 기계적으로 처리하라.

Since $(x + 1) = (x - (-1))$, the center is $(-1, 5)$ and the radius $\sqrt9 = 3$.

Always re-read as "$x$ minus something, $y$ minus something" — it mechanizes the sign flip.

좌변에 대입해 $25$와 비교한다:

방정식은 소속 검사기다 — 대입값이 $r^2$과 같으면 위, 작으면 안, 크면 밖. 중심에서의 거리 제곱을 재는 것과 같은 계산이다.

Substitute into the left side and compare with $25$:

The equation is a membership test — equal to $r^2$ means on, less means inside, more means outside. It is exactly the squared distance from the center.

완전제곱으로 묶는다:

중심 $(3, -2)$, 반지름 $5$.

검산: 중심을 원래 식에… 대신 원 위의 쉬운 점을 하나 찾자 — $(8, -2)$(중심에서 오른쪽 $5$): $64 + 4 - 48 - 8 - 12 = 0$ ✓.

Complete both squares:

Center $(3, -2)$, radius $5$.

Check with an easy point of the circle — $(8, -2)$, five to the right of center: $64 + 4 - 48 - 8 - 12 = 0$ ✓.

중심은 지름의 중점:

반지름은 지름의 절반:

검산: $A(1,2)$ 대입 — $9 + 16 = 25$ ✓. 중점 공식과 거리 공식이 원의 방정식으로 합류했다.

The center is the diameter's midpoint:

The radius is half the diameter:

Check with $A(1,2)$: $9 + 16 = 25$ ✓. Midpoint and distance formulas, merging into a circle equation.

$x$축에 접하려면 중심에서 $x$축까지의 거리가 반지름이어야 한다(접선의 거리 조건 $d = r$). 중심 $(3, 4)$에서 $x$축까지의 거리는 $|4| = 4$:

접점은 중심 바로 아래 $(3, 0)$ — 접선($x$축) $\perp$ 반지름(수직선)이라는 원 단원의 정리가 좌표에서 "반지름 $=$ $|y$좌표$|$"로 나타난다.

Tangency to the $x$-axis requires the center's distance to that axis to equal the radius (the tangency condition $d = r$). From $(3, 4)$ the distance to the $x$-axis is $|4| = 4$:

The tangency point is $(3, 0)$, directly below the center — the circle unit's tangent-perpendicular-to-radius theorem appearing in coordinates as "radius $=$ $|y\text{-coordinate}|$."

대입한다:

$x = 3$이면 $y = 4$, $x = -4$면 $y = -3$:

검산: 둘 다 $x^2 + y^2 = 25$ ✓. 서로 다른 두 근 — 직선이 원을 꿰뚫는 할선이다. 인수분해 단원의 기술이 교점 계산의 엔진 노릇을 한다.

Substitute:

$x = 3$ gives $y = 4$; $x = -4$ gives $y = -3$:

Check: both satisfy $x^2 + y^2 = 25$ ✓. Two distinct roots — the line is a secant. Factoring, serving as the engine of intersection-finding.

중심에서 직선에 내린 수선의 발을 구해 거리를 재라.

Find the foot of the perpendicular from the center and measure the distance.

직선의 기울기는 $-\dfrac34$이므로, 중심 $(0,0)$에서 내린 수선은 기울기 $\dfrac43$의 직선 $y = \dfrac43 x$다. 연립하면

수선의 발은 $(3, 4)$이고, 중심에서의 거리는 $\sqrt{9 + 16} = 5 = r$ — $d = r$이므로 접선이고, 수선의 발이 곧 접점이다.

검산 — 대입으로: $x^2 + \left(\frac{25 - 3x}{4}\right)^2 = 25 \Rightarrow 25x^2 - 150x + 225 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 = 0$ — 중근 ✓. 거리의 길과 대수의 길이 같은 접점에서 만난다.

The line's slope is $-\dfrac34$, so the perpendicular from the center $(0,0)$ is $y = \dfrac43 x$. Solving the system,

The foot is $(3, 4)$, at distance $\sqrt{9 + 16} = 5 = r$ from the center — $d = r$, a tangent, and the foot itself is the point of tangency.

Check by substitution: $x^2 + \left(\frac{25 - 3x}{4}\right)^2 = 25 \Rightarrow 25x^2 - 150x + 225 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 = 0$ — a double root ✓. The distance road and the algebra road meet at the same point.

일반형 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$에 세 점을 대입하거나 — 세 점이 만드는 삼각형의 특징을 먼저 보라.

Substitute into the general form $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ — or first notice what kind of triangle the three points make.

일반형 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$에 세 점을 넣는다:

중심 $(3, 4)$, 반지름 $5$.

지름길 검산 — 세 점은 직각삼각형($(0,0)$에서 직각)의 꼭짓점이다. 탈레스의 역으로 빗변 $(6,0)$–$(0,8)$이 지름이어야 하고, 그 중점 $(3, 4)$와 절반 길이 $5$가 방금의 답과 정확히 일치한다 ✓. 원 단원의 정리가 연립의 검산기가 됐다.

Feed the three points to the general form $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$:

Center $(3, 4)$, radius $5$.

Shortcut check — the three points form a right triangle (right angle at the origin). By Thales' converse the hypotenuse $(6,0)$–$(0,8)$ must be a diameter, and its midpoint $(3, 4)$ with half-length $5$ matches exactly ✓. A circle-unit theorem, moonlighting as the system's verifier.

중심 $(0,0)$과 $(7,0)$ 사이 거리는 $7$이고, 반지름은 $4$와 $3$:

— 중심거리가 반지름의 합과 정확히 같으므로 외접한다.

접점은 두 중심을 잇는 선분 위, 첫째 중심에서 $4$만큼 간 곳: $(4, 0)$.

검산: $(4,0)$은 $16 = 16$ ✓으로 첫째 원 위, $(4-7)^2 = 9$ ✓로 둘째 원 위다. $d$와 $r_1 + r_2$, $|r_1 - r_2|$의 비교가 두 원의 다섯 가지 위치 관계(밖·외접·두 점·내접·안)를 전부 가른다 — 직선 때의 $d$ vs $r$가 두 원으로 확장된 것이다.

The centers $(0,0)$ and $(7,0)$ are $7$ apart; the radii are $4$ and $3$:

— the center distance exactly equals the sum: externally tangent.

The tangency point lies on the segment between centers, $4$ from the first: $(4, 0)$.

Check: $(4,0)$ gives $16 = 16$ ✓ on the first circle and $(4-7)^2 = 9$ ✓ on the second. Comparing $d$ against $r_1 + r_2$ and $|r_1 - r_2|$ sorts all five positions of two circles (apart, externally tangent, crossing, internally tangent, nested) — the line's $d$ vs $r$, extended to two circles.

접선 $\perp$ 반지름 — 반지름 $\overline{OP}$의 기울기에서 접선의 기울기를 얻어라.

Tangent $\perp$ radius — get the tangent's slope from $\overline{OP}$'s slope.

반지름 $\overline{OP}$의 기울기는 $\dfrac{y_0}{x_0}$이므로, 접선 $\perp$ 반지름(원 단원)에 의해 접선의 기울기는 $-\dfrac{x_0}{y_0}$다. $P$를 지나는 직선으로 쓰면

$P$가 원 위에 있으므로 $x_0^2 + y_0^2 = r^2$:

축 위의 점. $(r, 0)$에서는 접선이 수직선 $x = r$인데, 공식에 넣으면 $rx = r^2$, 곧 $x = r$ ✓ — 공식이 기울기 없는 경우까지 스스로 감싼다. $(0, r)$도 마찬가지로 $y = r$ ✓.

원의 식 $x \cdot x + y \cdot y = r^2$에서 한 쌍의 변수만 접점 좌표로 바꾼 꼴 — 이 우아한 규칙성은 우연이 아니라, 접선이 원과 "두 번 만나는 극한"이라는 사실의 흔적이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — $d = r$ 확인 경유 포함)

• 수직 기울기로 접선의 기울기 (1점)
• 정리하여 $x_0 x + y_0 y = r^2$ (1점)
• 축 위 접점의 별도 확인 (1점)

The radius $\overline{OP}$ has slope $\dfrac{y_0}{x_0}$, so by tangent-perpendicular-to-radius (circle unit) the tangent's slope is $-\dfrac{x_0}{y_0}$. As a line through $P$:

Since $P$ lies on the circle, $x_0^2 + y_0^2 = r^2$:

On-axis points. At $(r, 0)$ the tangent is the vertical line $x = r$; the formula gives $rx = r^2$, i.e. $x = r$ ✓ — it embraces the slopeless case on its own. Likewise $y = r$ at $(0, r)$ ✓.

The formula is the circle's own $x \cdot x + y \cdot y = r^2$ with one variable of each pair replaced by the tangency coordinates — an elegance that is no accident, but the trace of a tangent being the limit of "meeting twice."

Rubric (any logically correct proof earns full credit — including via a $d = r$ verification)

• The tangent slope from perpendicularity (1 pt)
• Simplifying to $x_0 x + y_0 y = r^2$ (1 pt)
• The separate on-axis check (1 pt)

$P(x, y)$로 놓고 거리 제곱을 전개하라 — 어떤 항이 살아남는가?

Set $P(x, y)$ and expand the squared distances — which terms survive?

$P(x, y)$로 놓고 전개한다:

일차항($\pm 6x$)이 서로 지워지고 원점 중심의 원이 남는다 — 원점이 $\overline{AB}$의 중점이기 때문이다.

거리 제곱의 합이 일정한 점의 자취는 (두 점의 중점을 중심으로 한) 원 — 거리의 합이 일정하면 타원(고등 과정), 같으면 수직이등분선이었던 것과 나란히 놓으면, 조건의 문법이 자취의 종류를 정한다는 사전이 완성된다. 검산: $P(5, 0)$에서 $PA^2 + PB^2 = 64 + 4 = 68$ ✓.

With $P(x, y)$, expand:

The linear terms ($\pm 6x$) cancel each other, leaving a circle about the origin — because the origin is the midpoint of $\overline{AB}$.

A constant sum of squared distances traces a circle (centered at the two points' midpoint) — set beside "equal distances → perpendicular bisector" and "constant sum of distances → ellipse (a later course)," the grammar of the condition dictates the species of the locus. Check: at $P(5, 0)$, $PA^2 + PB^2 = 64 + 4 = 68$ ✓.

$m_{PA} \times m_{PB}$를 계산하고, $P$가 원 위에 있다는 조건을 대입하라.

Compute $m_{PA} \times m_{PB}$ and substitute the condition that $P$ lies on the circle.

두 기울기를 곱한다($x_0 \ne \pm r$, 즉 $P$가 $A$, $B$가 아닐 때):

$P$가 원 위에 있으므로 $x_0^2 + y_0^2 = r^2$, 곧 $x_0^2 - r^2 = -y_0^2$:

— 두 직선이 수직이므로 $\angle APB = 90°$. ($y_0 \ne 0$은 $P$가 지름의 끝이 아니라는 조건에서 보장된다.) $\blacksquare$

원 단원에서는 "반지름 이등변 $+$ 외각"으로 증명했던 정리가, 좌표에서는 원의 조건식을 기울기 곱에 대입하는 한 수다 — 마름모의 대각선 때와 똑같은 무늬($c^2 - a^2 = -d^2$의 재판)다. 같은 진리, 세 개의 길: 합동의 길, 원주각의 길, 그리고 좌표의 길.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 두 기울기의 곱 계산 (1점)
• 원의 조건 대입으로 $-1$ (1점)
• 예외점($y_0 = 0$) 처리 언급 (1점)

Multiply the two slopes (for $x_0 \ne \pm r$, i.e. $P$ not at $A$ or $B$):

Since $P$ is on the circle, $x_0^2 + y_0^2 = r^2$, so $x_0^2 - r^2 = -y_0^2$:

— perpendicular lines, hence $\angle APB = 90°$. (And $y_0 \ne 0$ is guaranteed since $P$ is not a diameter endpoint.) $\blacksquare$

Proved in the circle unit by "radius isosceles $+$ exterior angle," the theorem becomes, in coordinates, one substitution of the circle's condition into a product of slopes — the same pattern as the rhombus diagonals ($c^2 - a^2 = -d^2$, retried). One truth, three roads: congruence, inscribed angles, and coordinates.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The product of the two slopes (1 pt)
• Substituting the circle condition to get $-1$ (1 pt)
• Handling the exceptional points ($y_0 = 0$) (1 pt)