중심각과 원주각Central & Inscribed Angles

원주각 정리로 (1) $80° \div 2 = 40°$, (2) $25° \times 2 = 50°$.

절반으로 갈 때(중심 → 원 위)와 두 배로 갈 때(원 위 → 중심)의 방향만 헷갈리지 않으면 된다 — 중심각이 언제나 크다.

By the inscribed angle theorem: (1) $80° \div 2 = 40°$, (2) $25° \times 2 = 50°$.

Just keep the direction straight — halve going center → circle, double coming back. The central angle is always the bigger one.

탈레스 정리로 $\angle ACB = 90°$ — 지름을 보는 원주각이다. 삼각형 내각의 합에서

지름이 보이면 직각부터 채워 넣는 것이 원 각 문제의 첫수다.

By Thales, $\angle ACB = 90°$ — an inscribed angle on a diameter. The angle sum gives

When a diameter appears, filling in the right angle is move one.

$P$와 $Q$는 같은 호 $AB$를 보는 원주각이므로 둘 다 같은 중심각의 절반 — $\angle AQB = 42°$.

꼭짓점이 원을 따라 미끄러져도 각은 그대로다. 이 "이사의 자유"가 다음 문제들에서 각을 옮기는 도구로 쓰인다.

$P$ and $Q$ are inscribed angles on the same arc $AB$, each half of the same central angle — so $\angle AQB = 42°$.

The vertex slides along the circle and the angle holds still. This freedom of relocation becomes the angle-moving tool of the problems ahead.

내접사각형의 대각의 합은 $180°$:

검산: 네 각의 합 $95 + 80 + 85 + 100 = 360°$ ✓ — 사각형 내각의 합과도 맞는다.

Opposite angles of a cyclic quadrilateral sum to $180°$:

Check: $95 + 80 + 85 + 100 = 360°$ ✓ — consistent with the quadrilateral angle sum.

$P$에서 지름을 그어 각을 두 조각으로 갈라라.

Draw the diameter from $P$ to split the angle in two.

$P$에서 중심을 지나는 지름 $\overline{PQ}$를 긋는다. $O$가 각의 안쪽에 있으므로 $\overline{PQ}$는 $\angle APB$를 $\angle APQ$와 $\angle QPB$로 가르고, $\angle AOQ$와 $\angle QOB$도 $\angle AOB$를 두 조각으로 가른다.

두 조각 모두 한 변($\overline{PQ}$)이 지름이므로 경우 1을 적용할 수 있다:

변끼리 더하면

증명의 유일한 창의는 보조선 $\overline{PQ}$ 하나 — 이미 증명된 경우로 환원하는 수법이다. 경우 3은 같은 보조선에서 더하기를 빼기로 바꾸면 된다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 지름 $\overline{PQ}$ 보조선과 각의 분할 (1점)
• 두 조각에 경우 1 적용 (1점)
• 합산으로 결론 (1점)

Draw the diameter $\overline{PQ}$ from $P$ through the center. Since $O$ lies inside the angle, $\overline{PQ}$ splits $\angle APB$ into $\angle APQ$ and $\angle QPB$, and correspondingly splits $\angle AOB$ into $\angle AOQ$ and $\angle QOB$.

Each piece has one side ($\overline{PQ}$) through the center, so Case 1 applies:

Add the equations:

The proof's one idea is the auxiliary line $\overline{PQ}$ — reduction to the case already proved. Case 3 uses the same line with addition swapped for subtraction.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The diameter $\overline{PQ}$ and the angle split (1 pt)
• Case 1 applied to both pieces (1 pt)
• Adding to conclude (1 pt)

각 꼭짓점의 내각은 맞은편 호를 보는 원주각이다.

Each vertex angle is the inscribed angle on the opposite arc.

세 호의 중심각 합은 $360°$이므로 비 $3:4:5$에 따라 $90°$, $120°$, $150°$다.

각 내각은 맞은편 호를 보는 원주각 — 절반씩:

검산: $45 + 60 + 75 = 180°$ ✓. 호의 비가 곧 각의 비다 — 원에 내접시키면 각 문제가 호 나누기 문제로 바뀐다.

The three central angles sum to $360°$, so the ratio $3:4:5$ gives $90°$, $120°$, $150°$.

Each interior angle is the inscribed angle on the opposite arc — half each:

Check: $45 + 60 + 75 = 180°$ ✓. Arc ratios are angle ratios — inscribing turns an angle problem into arc-splitting.

(1) 탈레스의 역으로 빗변이 외접원의 지름이다: $R = 10 \div 2 = 5$.

(2) 빗변의 중점은 곧 외접원의 중심이므로, 직각 꼭짓점까지의 거리도 반지름 $5$다.

삼각형의 성질 단원의 "빗변의 중선은 빗변의 절반"이 원의 언어로 다시 읽힌 것 — 같은 사실의 두 표현이다.

(1) By Thales' converse the hypotenuse is a diameter of the circumscribed circle: $R = 10 \div 2 = 5$.

(2) The hypotenuse's midpoint is the circumcenter, so its distance to the right-angle vertex is also the radius, $5$.

The triangle unit's "median to the hypotenuse is half the hypotenuse," reread in the language of circles — two phrasings of one fact.

(1) $C$는 짧은 호 $AB$를 보므로 $\angle ACB = \dfrac{100°}{2} = 50°$.

(2) $D$는 긴 호 $AB$를 본다 — 그 중심각은 $360° - 100° = 260°$이므로 $\angle ADB = 130°$.

검산: $ACBD$는 내접사각형이고 $\angle C + \angle D = 50° + 130° = 180°$ ✓. 같은 두 점을 봐도 서 있는 호가 다르면 각이 다르다 — 두 원주각은 언제나 보각 관계다.

(1) $C$ sees the minor arc $AB$: $\angle ACB = \dfrac{100°}{2} = 50°$.

(2) $D$ sees the major arc $AB$ — central angle $360° - 100° = 260°$, so $\angle ADB = 130°$.

Check: $ACBD$ is cyclic and $\angle C + \angle D = 50° + 130° = 180°$ ✓. Same two points, different arc underfoot, different angle — the two inscribed angles are always supplementary.

$\angle DCE$는 내접사각형의 $\angle BCD$의 외각이다: $\angle BCD = 180° - 72° = 108°$.

대각 정리로 $\angle BAD = 180° - \angle BCD = 180° - 108° = 72°$.

두 단계를 합치면 따름정리 그대로다 — 내접사각형의 외각은 내대각과 같다. $180°$를 두 번 통과하며 각이 맞은편으로 순간이동하는 구조이니, 실전에서는 한 걸음으로 옮겨도 된다.

$\angle DCE$ is the exterior angle at $\angle BCD$: $\angle BCD = 180° - 72° = 108°$.

By the opposite-angle theorem, $\angle BAD = 180° - \angle BCD = 180° - 108° = 72°$.

The two steps compose into the corollary itself — a cyclic quadrilateral's exterior angle equals its opposite interior angle. The angle passes through $180°$ twice and teleports across; in practice, take it in one step.

정오각형의 꼭짓점들은 원을 같은 호 다섯 개로 가른다.

The vertices cut the circle into five equal arcs.

정오각형의 다섯 꼭짓점은 원을 $360° \div 5 = 72°$짜리 호 다섯 개로 등분한다.

$\angle CAD$는 호 $CD$($72°$)를 보는 원주각: $\angle CAD = 36°$.

같은 계산으로 $\angle BAC$는 호 $BC$를, $\angle DAE$는 호 $DE$를 보므로 둘 다 $36°$ — 꼭지각 $\angle EAB = 108°$가 정확히 $36° \times 3$으로 삼등분된다.

검산: 정오각형 내각 $= \dfrac{(5-2) \times 180°}{5} = 108°$ ✓. 각의 삼등분은 일반적으로 자와 컴퍼스로 불가능하지만, 정오각형의 꼭지각은 대각선이 공짜로 삼등분해 준다 — 호가 같으니 원주각도 같다는 정리의 선물이다.

The five vertices split the circle into five arcs of $360° \div 5 = 72°$.

$\angle CAD$ is the inscribed angle on arc $CD$ ($72°$): $\angle CAD = 36°$.

Likewise $\angle BAC$ sees arc $BC$ and $\angle DAE$ sees arc $DE$ — both $36°$ — so the interior angle $\angle EAB = 108°$ is exactly $36° \times 3$: trisected.

Check: the pentagon's interior angle is $\dfrac{(5-2) \times 180°}{5} = 108°$ ✓. Trisecting an angle is impossible with straightedge and compass in general — yet the pentagon's diagonals trisect its angle for free, a gift of "equal arcs, equal inscribed angles."

$\triangle ABD$는 $B$에서 직각이므로, 탈레스의 역에 의해 $B$는 $\overline{AD}$를 지름으로 하는 원 위에 있다. $\triangle ACD$도 $C$에서 직각이므로, 같은 이유로 $C$도 $\overline{AD}$를 지름으로 하는 원 위에 있다.

두 결론이 가리키는 원이 같은 원이다 — $\overline{AD}$를 지름으로 하는 원 하나. 따라서 $A$, $B$, $C$, $D$ 네 점이 모두 그 위에 있고, 지름은 $\overline{AD}$다.

직각 두 개가 같은 선분을 빗변으로 공유하는 순간 네 점은 자동으로 한 원에 갇힌다 — 공원점(concyclic) 판정 중 가장 값싼 것이고, "직각을 보면 지름을 의심하라"의 대표 사용처다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• 탈레스의 역을 $B$에 적용 (1점)
• $C$에도 적용해 같은 원임을 지적 (1점)
• 지름 $= \overline{AD}$ 명시 (1점)

$\triangle ABD$ has its right angle at $B$, so by Thales' converse $B$ lies on the circle with diameter $\overline{AD}$. $\triangle ACD$ has its right angle at $C$, so $C$ lies on the circle with diameter $\overline{AD}$ as well.

Both conclusions name the same circle — the one on diameter $\overline{AD}$. Hence all four points lie on it, and the diameter is $\overline{AD}$.

The moment two right angles share the same segment as hypotenuse, the four points are locked onto one circle — the cheapest of all concyclicity tests, and the flagship use of "see a right angle, suspect a diameter."

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• Thales' converse applied at $B$ (1 pt)
• Applied at $C$, noting it is the same circle (1 pt)
• Diameter $= \overline{AD}$ stated (1 pt)

$O$와 세 꼭짓점을 이으면 이등변삼각형 세 개 — 세 쌍의 밑각을 문자로 놓아라.

Joining $O$ to the vertices makes three isosceles triangles — name the three pairs of base angles.

$OA = OB = OC$(외심)이므로 세 삼각형 $OAB$, $OBC$, $OCA$는 전부 이등변 — 밑각이 쌍으로 같다:

$\triangle ABC$의 내각 합은 이 여섯 각의 합이다:

그리고 $\angle BAC = x + 35° = 75°$.

검산 — 원주각 정리로: $\angle BOC = 180° - 2 \times 15° = 150°$이고, 이는 $2\angle BAC = 150°$ ✓.

핵심 무늬는 $x + y + z = 90°$ — 외심이 만드는 세 이등변의 밑각 세 쌍은 언제나 반직각을 나눠 갖는다.

Since $OA = OB = OC$ (circumcenter), the triangles $OAB$, $OBC$, $OCA$ are all isosceles — base angles in pairs:

The angle sum of $\triangle ABC$ is the sum of these six angles:

Then $\angle BAC = x + 35° = 75°$.

Check with the inscribed angle theorem: $\angle BOC = 180° - 2 \times 15° = 150°$, which is $2\angle BAC = 150°$ ✓.

The key pattern is $x + y + z = 90°$ — the three base-angle pairs of the circumcenter's isosceles triangles always share out a right angle.

각 꼭지각이 보는 호가 무엇인지 적어 보라 — 다섯 호가 원을 정확히 한 바퀴 덮는다.

Write down which arc each tip sees — the five arcs cover the circle exactly once.

각 꼭지각은 원주각이다. 꼭짓점 $A$의 각은 두 현 $\overline{AC}$, $\overline{AD}$ 사이의 각이므로 호 $CD$를 본다. 같은 방식으로:

다섯 호는 이웃한 점 사이의 다섯 호 전부를 정확히 한 번씩 덮는다 — 합이 원 전체 $360°$다. 원주각 정리로 각 꼭지각은 자기 호의 절반이므로

다섯 점이 어디에 있든 합은 움직이지 않는다 — 정오각별의 $36° \times 5$는 이 정리의 대칭적인 특수 사례일 뿐이다. 별의 모양이 아무리 비뚤어져도 꼭지각들은 서로 눈치껏 보충하며 $180°$를 지킨다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — 삼각형 외각으로 모으는 풀이 포함)

• 각 꼭지각이 보는 호를 정확히 지정 (1점)
• 다섯 호가 원을 한 번씩 덮음(합 $360°$) (1점)
• 절반 씌워 $180°$ 결론 (1점)

Each tip is an inscribed angle. The tip at $A$ lies between chords $\overline{AC}$ and $\overline{AD}$, so it sees arc $CD$. Likewise:

These five arcs are precisely the five arcs between neighboring points, each covered exactly once — total $360°$. By the inscribed angle theorem each tip is half its arc, so

Move the five points anywhere and the sum won't budge — the regular pentagram's $36° \times 5$ is merely the symmetric special case. However lopsided the star, its tips quietly compensate one another to hold $180°$.

Rubric (any logically correct proof earns full credit — including collecting via exterior angles of triangles)

• Assigning each tip its arc correctly (1 pt)
• The five arcs cover the circle once (sum $360°$) (1 pt)
• Halving to conclude $180°$ (1 pt)