거리와 중점Distance & Midpoints

가로 차 $3$, 세로 차 $4$ — $3$-$4$-$5$의 빗변이다.

Horizontal difference $3$, vertical $4$ — the hypotenuse of a $3$-$4$-$5$.

음수가 섞여도 평균은 평균이다 — 부호째로 더해 반으로 나눈다.

Negatives change nothing — add with signs, halve.

검산 — 중선으로: 밑변의 중점 $(3, 0)$과 꼭짓점 $(3, 9)$를 잇는 중선 위에서 꼭짓점으로부터 $\frac23$ 지점은 $(3, 3)$ ✓.

Check along a median: from $(3, 9)$ toward the base's midpoint $(3, 0)$, the $\frac23$ mark is $(3, 3)$ ✓.

$AC = BC$ — 이등변이고, 둘레는 $6 + 5 + 5 = 16$.

직각은 아닌지도 확인해 두자: 최장변 $6$에 대해 $36 < 25 + 25$ — 예각삼각형이다. 좌표 판별은 "재고, 비교한다" 두 동작의 반복이다.

$AC = BC$ — isosceles, with perimeter $6 + 5 + 5 = 16$.

Check for a right angle too: against the longest side, $36 < 25 + 25$ — acute. Coordinate classification is two moves on repeat: measure, compare.

중점 공식을 거꾸로 푼다:

"평균이 $M$"을 "합이 $2M$"으로 읽으면 한 줄이 된다: $B = 2M - A = (8-1, \; 2-(-2)) = (7, 4)$. 검산: $(1+7)/2 = 4$ ✓, $(-2+4)/2 = 1$ ✓.

Run the midpoint formula backwards:

Reading "average is $M$" as "sum is $2M$" makes it one line: $B = 2M - A = (8-1, \; 2-(-2)) = (7, 4)$. Check: $(1+7)/2 = 4$ ✓, $(-2+4)/2 = 1$ ✓.

두 중점이 일치한다 — 대각선이 서로를 이등분하므로, 사각형 단원의 판정에 의해 평행사변형이다.

변 네 개의 길이나 기울기를 잴 필요가 없다 — 좋은 판정 정리를 골라 번역하는 것이 좌표 기하의 절반이다.

They coincide — the diagonals bisect each other, so by the quadrilateral unit's test, a parallelogram.

No side lengths, no slopes — half of coordinate geometry is choosing the right test theorem to translate.

세 변의 제곱을 먼저 나열하라.

List the squared side lengths first.

$AB = BC$(이등변)이고 $AB^2 + BC^2 = 40 = AC^2$ — 피타고라스의 역으로 $\angle B = 90°$. 직각이등변이다.

검산 — 상자 빼기: $4 \times 6 - 4 - 4 - 6 = 10$ ✓. 제곱 상태로 비교를 끝내는 것이 요령 — 근호는 마지막까지 벗기지 않는다.

$AB = BC$ (isosceles) and $AB^2 + BC^2 = 40 = AC^2$ — the Pythagorean converse gives $\angle B = 90°$. Right isosceles.

Check by box-subtraction: $4 \times 6 - 4 - 4 - 6 = 10$ ✓. Work in squares throughout — peel the radical only at the very end.

$PA^2 = PB^2$으로 세운다(제곱으로 비교해 근호를 피한다):

$x^2$, $y^2$이 양변에서 지워지고 직선이 남는다 — 두 점에서 등거리인 점의 자취는 수직이등분선이라는 합동 단원의 정리가, 좌표에서는 이차항의 소거로 나타난다. 검산: $\overline{AB}$의 중점 $(1, 2)$를 대입하면 $2 = \frac{4}{2}$ ✓.

Set $PA^2 = PB^2$ (compare in squares — no radicals):

The $x^2$ and $y^2$ cancel and a line remains — the congruence unit's theorem that the equidistant locus is the perpendicular bisector shows up, in coordinates, as the vanishing of the quadratic terms. Check: the midpoint $(1, 2)$ of $\overline{AB}$ satisfies $2 = \frac{4}{2}$ ✓.

중선은 $A$와 $\overline{BC}$의 중점을 잇는다:

중점 공식과 거리 공식의 2단 조합 — 좌표 기하의 문제는 대부분 이렇게 공식 두세 개의 릴레이다.

The median joins $A$ to the midpoint of $\overline{BC}$:

Midpoint formula, then distance formula — most coordinate problems are relays of two or three formulas.

$A$, $M$, $B$에서 $x$축으로 수선을 내려라.

Drop perpendiculars from $A$, $M$, $B$ to the $x$-axis.

$A$, $M$, $B$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 $A'$, $M'$, $B'$이라 하자. 세 수선은 모두 $x$축과 수직이므로 서로 평행하다.

평행선 잘라내기 원리(닮음 단원): 평행선 묶음이 한 횡단선($\overline{AB}$)을 $AM : MB = 1 : 1$로 가르면, 다른 횡단선($x$축)도 같은 비로 가른다:

즉 $M'$은 $A'(x_1, 0)$과 $B'(x_2, 0)$의 한가운데이고, 수직선 위 한가운데의 좌표는

($y$좌표는 $y$축으로 수선을 내려 같은 논증을 반복하면 된다.)

좌표 공식은 허공에서 오지 않는다 — 닮음 단원의 정리가 공식 하나하나를 떠받치고 있고, 그 연결을 확인하는 것이 이 증명의 목적이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — 합동 삼각형 논증 포함)

• 수선 셋의 평행 (1점)
• 잘라내기 원리로 $1:1$ 전달 (1점)
• 수직선 위 중점 $=$ 평균 결론 (1점)

Let $A'$, $M'$, $B'$ be the feet of the perpendiculars from $A$, $M$, $B$ to the $x$-axis. All three are perpendicular to the same axis, hence parallel to one another.

The parallel-cut principle (similarity unit): if a family of parallels cuts one transversal ($\overline{AB}$) in ratio $AM : MB = 1 : 1$, it cuts every other transversal (the $x$-axis) in the same ratio:

So $M'$ is halfway between $A'(x_1, 0)$ and $B'(x_2, 0)$, and halfway along a number line means

(For $y$, drop perpendiculars to the $y$-axis and repeat.)

Coordinate formulas do not come from thin air — a similarity-unit theorem stands under each one, and tracing that connection is this proof's point.

Rubric (any logically correct proof earns full credit — including congruent-triangle arguments)

• The three perpendiculars are parallel (1 pt)
• The parallel-cut principle transfers $1:1$ (1 pt)
• Midpoint on a number line $=$ average (1 pt)

$G$는 $A$에서 맞은편 중점 $M$까지의 $\frac23$ 지점이다.

$G$ sits $\frac23$ of the way from $A$ to the opposite midpoint $M$.

$\overline{BC}$의 중점은 $M = \left(\dfrac{x_2+x_3}{2}, \dfrac{y_2+y_3}{2}\right)$. $G$는 중선 $\overline{AM}$을 $AG : GM = 2 : 1$로 가르므로, $A$에서 $M$ 방향으로 전체의 $\dfrac23$만큼 간 점이다. $x$좌표로:

$y$좌표도 같은 계산이다.

대칭성의 의미. 결과 식은 $A$, $B$, $C$를 어떻게 바꿔 넣어도 변하지 않는다. 그런데 위 계산은 "$A$의 중선"을 골라서 한 것 — $B$의 중선으로 계산해도, $C$의 중선으로 계산해도 같은 대칭식이 나온다. 즉 세 중선 위의 $2:1$ 지점이 전부 같은 점이다 — 세 중선이 한 점(무게중심)에서 만난다는 사실이, 식의 대칭성 하나로 재확인된다. 닮음 단원에서 합동·닮음으로 증명했던 공점 정리의 좌표판 상환이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $\frac23$ 지점 계산으로 평균 도출 (1점)
• $y$좌표 또는 대칭 근거 (1점)
• 대칭성 → 공점 재확인 설명 (1점)

The midpoint of $\overline{BC}$ is $M = \left(\dfrac{x_2+x_3}{2}, \dfrac{y_2+y_3}{2}\right)$. Since $G$ divides the median with $AG : GM = 2 : 1$, it lies $\dfrac23$ of the way from $A$ toward $M$. In $x$:

Same computation for $y$.

What the symmetry means. The result is unchanged under any relabeling of $A$, $B$, $C$. Yet the computation above chose $A$'s median — computing along $B$'s or $C$'s median must produce the same symmetric expression. So the $2:1$ points of all three medians are one and the same point: the medians' concurrence, re-confirmed by nothing more than the formula's symmetry. The coordinate repayment of the concurrence theorem proved with similarity.

Rubric (any logically correct derivation earns full credit)

• The $\frac23$-point computation yielding the average (1 pt)
• The $y$-coordinate or a symmetry justification (1 pt)
• Symmetry → concurrence explanation (1 pt)

네 변과 한 대각선 — 다섯 거리면 충분하다.

Four sides and one diagonal — five distances suffice.

네 변의 제곱:

— 네 변이 같으니 마름모다. 대각선 하나를 재면

— 피타고라스의 역으로 $\angle B = 90°$. 직각을 가진 마름모는 정사각형이다.

한 변이 $\sqrt{10}$인 기울어진 정사각형 — 격자에 비스듬히 놓인 정사각형의 넓이가 정수가 되는 것은 $10 = 3^2 + 1^2$ 덕분이다. (기울기로도 검산: $AB$의 기울기 $\frac13$, $BC$의 기울기 $-3$ — 곱이 $-1$ ✓.)

The four squared sides:

— all equal: a rhombus. One diagonal:

— the Pythagorean converse gives $\angle B = 90°$. A rhombus with a right angle is a square.

A tilted square of side $\sqrt{10}$ — its area is a whole number thanks to $10 = 3^2 + 1^2$. (Slopes double-check it: $AB$ has slope $\frac13$, $BC$ has $-3$ — product $-1$ ✓.)

$A$를 $x$축에 대해 접어 내려라 — 꺾인 길이 곧은 길이 된다.

Fold $A$ across the $x$-axis — the bent path becomes straight.

$A$를 $x$축에 대칭시킨 점 $A'(1, -5)$를 잡으면, $x$축 위의 어느 $P$에 대해서도 $AP = A'P$(대칭은 거리를 보존). 그러므로

등호는 $P$가 $\overline{A'B}$ 위에 있을 때다(삼각부등식 — 꺾인 길보다 곧은 길).

$P$의 위치: $A'(1,-5)$에서 $B(7,3)$으로 가며 $y$가 $0$이 되는 지점은 전체의 $\dfrac{5}{8}$ 지점이므로

검산: $AP = \sqrt{(15/4)^2 + 25} = \frac{25}{4}$, $PB = \sqrt{(9/4)^2 + 9} = \frac{15}{4}$, 합 $= 10$ ✓.

강에서 물을 긷고 목적지로 가는 최단 경로의 고전 — 접기(대칭)가 "꺾인 문제"를 "곧은 문제"로 바꾸고, 거리 공식이 마무리한다. 빛이 거울에서 반사각을 지키는 이유도 같은 원리다.

Reflect $A$ across the axis to $A'(1, -5)$. For every $P$ on the axis, $AP = A'P$ (reflection preserves distance), so

with equality exactly when $P$ lies on $\overline{A'B}$ (triangle inequality — the straight path beats the bent one).

Locating $P$: traveling from $A'(1,-5)$ to $B(7,3)$, the height reaches $0$ at the $\dfrac{5}{8}$ mark, so

Check: $AP = \sqrt{(15/4)^2 + 25} = \frac{25}{4}$, $PB = \sqrt{(9/4)^2 + 9} = \frac{15}{4}$, sum $= 10$ ✓.

The classic fetch-water-from-the-river route — folding (reflection) turns a bent problem straight, and the distance formula finishes it. Light bouncing off a mirror at equal angles obeys the very same principle.