ASA·AAS와 직각삼각형의 합동ASA, AAS & HL

GeometryGeometry · 3. 삼각형의 합동3. Triangle Congruence

학습 목표

ASA 합동 조건을 쓰고, AAS가 ASA의 따름정리임을 증명할 수 있다.
SSA가 합동 조건이 못 되는 이유를 반례 그림으로 설명할 수 있다.
직각삼각형의 HL(빗변·다른 한 변) 조건을 쓸 수 있다.
다섯 조건(SSS·SAS·ASA·AAS·HL)과 두 함정(AAA·SSA)을 가려낼 수 있다.

ASA: 두 각과 끼인변

변 하나에 양 끝 각 둘 — 이 묶음도 삼각형을 결정한다.

ASA 합동 조건 — 두 쌍의 대응각과 그 끼인변이 각각 같으면 두 삼각형은 합동이다.

이유는 그리는 순서에 있다. 끼인변을 놓으면 양 끝에서 두 각이 반직선의 방향을 각각 고정하고, 셋째 꼭짓점은 그 두 반직선의 교점이다. 그런데 서로 다른 두 직선은 많아야 한 점에서 만난다 — 첫 차시의 첫 정리가 여기서 유일성을 보증한다. 교점이 하나뿐이니 삼각형도 하나뿐이다. SSS·SAS와 함께 ASA도 공리 목록에 얹는다.

예제 1 · 평행선이 각 재료를 대 준다

$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ 이고, 선분 $\overline{AD}$ 와 $\overline{BC}$ 가 점 $M$ 에서 만난다. $M$ 이 $\overline{AD}$ 의 중점이면 $M$ 은 $\overline{BC}$ 의 중점이기도 함을 증명하여라.

평행선 사이에서 만나는 두 선분 — 엇각 두 쌍이 공짜다.

증명.

문장	근거
① $\angle MAB = \angle MDC$	엇각 정리 — $\overline{AD}$ 는 평행선의 횡단선
② $AM = DM$	$M$ 은 $\overline{AD}$ 의 중점
③ $\angle AMB = \angle DMC$	맞꼭지각 정리
④ $\triangle AMB \cong \triangle DMC$	①, ②, ③ — ASA
⑤ $BM = CM$	대응변 — 즉 $M$ 은 $\overline{BC}$ 의 중점

$\blacksquare$

각·변·각 순서로 재료를 적었고, 변 $AM$ 이 두 각 사이에 끼어 있음을 확인했다. 각 재료 둘을 평행선(엇각)과 맞꼭지각이 공짜로 만들어 냈다는 점이 이 증명의 풍경이다 — U2에서 쌓은 정리들이 합동의 재료 공장이 되었다.

AAS: 공리가 아니라 정리

두 각과 끼이지 않은 변 하나(AAS)는 어떨까. 이것도 합동을 강제한다 — 그런데 이번에는 공리로 얹을 필요가 없다. 내각합 정리가 있으니 증명이 되기 때문이다.

두 각이 같으면 셋째 각도 같다 — $180°$ 에서 같은 두 각을 빼면 남는 것도 같으니까. 셋째 각이 확보되는 순간, 주어진 변은 어떤 두 각 사이엔가 반드시 끼게 되고, ASA가 마무리한다. (정식 두 칸 증명은 문제 11에서 쓴다.)

같은 세 글자여도 신분이 다르다 — ASA는 공리, AAS는 정리. 무엇이 공짜고 무엇이 증명으로 얻어진 것인지의 장부는 계속 정직하게 적어 간다.

SSA: 조건이 되지 못한 배열

두 변과 끼이지 않은 각(SSA)은 어떨까. 지난 차시부터 미뤄 온 반례를 공개한다.

같은 각 A, 같은 변 AB, 같은 길이 BC — 그런데 삼각형이 둘이다.

각 $A$ 와 변 $AB$ 를 고정하고, $B$ 에서 길이 $BC$ 를 컴퍼스로 벌려 밑변 쪽으로 휘둘러 보라. 원호가 밑변 반직선과 두 점 $C_1$ , $C_2$ 에서 만난다. 삼각형 $ABC_1$ 과 $ABC_2$ 는 $\angle A$ , $AB$ , $BC$ 가 전부 같지만 — 하나는 $C$ 의 각이 둔각, 하나는 예각으로 — 서로 합동이 아니다. 같은 SSA 자료에 삼각형이 둘이니, SSA는 삼각형을 결정하지 못한다. 반례 하나면 충분하다.

HL: 직각이 SSA를 구출한다

그런데 그림을 다시 보면 탈출구가 보인다. 원호가 두 점에서 만나는 건 변 $BC$ 가 비스듬히 설 수 있기 때문인데, 주어진 각이 직각이면 사정이 달라진다.

HL 합동 조건 — 두 직각삼각형에서 빗변과 다른 한 변이 각각 같으면 합동이다. (직각 $90°$ ·빗변 H·다리 L — 배열로는 SSA지만 성립하는 특례다.)

근거는 미리 적어 둔다: 직각삼각형에서는 빗변과 한 변이 남은 변의 길이를 결정한다는 사실이 성립하고(그 유명한 피타고라스 정리의 즉각적 결과 — U7에서 증명한다, 빚 하나 기록), 세 변이 정해지니 SSS로 환원된다. 다음 차시의 도구로 피타고라스 없이 증명하는 길도 있다 — 그쪽은 다음 차시 문제로 만난다.

조건 총정리

판정	배열	신분
SSS	변 · 변 · 변	공리
SAS	변 · 끼인각 · 변	공리
ASA	각 · 끼인변 · 각	공리
AAS	각 · 각 · 변	정리 (내각합으로 ASA에 환원)
HL	직각 · 빗변 · 변	정리 (U7에서 상환할 빚 포함)
AAA	각 · 각 · 각	✗ — 크기를 못 정한다 (다른 크기의 정삼각형 반례)
SSA	변 · 변 · 안 끼인 각	✗ — 오늘의 두 삼각형 반례 (직각이면 HL로 구출)

다섯이 통과하고 둘이 탈락한다. 탈락 둘의 사인이 각각 반례 하나였다는 것 — 수학 주장의 문법 그대로다.

Goals

Use the ASA congruence criterion, and prove that AAS is a corollary of it.
Explain, with the counterexample figure, why SSA fails as a criterion.
Use the HL (hypotenuse–leg) criterion for right triangles.
Sort the five criteria (SSS, SAS, ASA, AAS, HL) from the two traps (AAA, SSA).

ASA: two angles and the included side

One side with the two angles at its ends — this bundle also determines a triangle.

ASA Congruence Criterion — if two pairs of corresponding angles and their included sides are equal, the triangles are congruent.

The reason lives in the drawing order. Lay down the included side; the two angles at its ends fix the directions of two rays, and the third vertex is where those rays intersect. But two different lines meet in at most one point — the very first theorem of this course, now guaranteeing uniqueness. One intersection, one triangle. ASA joins SSS and SAS on the postulate list.

Example 1 · Parallel lines supply the angles

$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ , and segments $\overline{AD}$ and $\overline{BC}$ meet at $M$ . Prove that if $M$ is the midpoint of $\overline{AD}$ , it is the midpoint of $\overline{BC}$ as well.

Two segments crossing between parallel lines — two free pairs of angles.

Proof.

Statement	Reason
① $\angle MAB = \angle MDC$	Alternate angles theorem — $\overline{AD}$ is a transversal of the parallels
② $AM = DM$	$M$ is the midpoint of $\overline{AD}$
③ $\angle AMB = \angle DMC$	Vertical Angles Theorem
④ $\triangle AMB \cong \triangle DMC$	①, ②, ③ — ASA
⑤ $BM = CM$	Corresponding sides — that is, $M$ is the midpoint of $\overline{BC}$

$\blacksquare$

The ingredients are listed angle–side–angle, and the side $AM$ sits between its two angles. The scenery worth admiring: both angle ingredients came free — one from parallel lines (alternate angles), one from vertical angles. The theorems stacked in Unit 2 have become a parts factory for congruence.

AAS: a theorem, not a postulate

What about two angles and a non-included side (AAS)? It, too, forces congruence — but this one needs no postulate. With the angle sum theorem in hand, it can be proved.

If two angles match, so does the third — subtract the same two angles from $180°$ and the remainders agree. The moment the third angle is secured, the given side finds itself included between some two matching angles, and ASA finishes. (The formal two-column proof is yours in Problem 11.)

Same three letters, different status — ASA is a postulate, AAS a theorem. The ledger of what is free versus what is earned stays honestly kept.

SSA: the arrangement that never made the cut

And two sides with a non-included angle (SSA)? The counterexample postponed since last lesson is hereby unsealed.

Same angle A, same side AB, same length BC — yet two triangles.

Fix angle $A$ and side $AB$ ; then open a compass to length $BC$ at $B$ and swing it toward the base ray. The arc crosses the ray at two points, $C_1$ and $C_2$ . Triangles $ABC_1$ and $ABC_2$ share $\angle A$ , $AB$ , and $BC$ in full — yet one has an obtuse angle at $C$ and the other an acute one. Not congruent. One SSA data set, two triangles: SSA does not determine a triangle, and one counterexample settles it.

HL: the right angle rescues SSA

Look at the figure once more, though, and an escape route appears. The arc hits twice because side $BC$ may lean slantwise — but if the given angle is a right angle, the story changes.

HL Congruence Criterion — two right triangles with equal hypotenuses and one pair of equal legs are congruent. (Right angle, Hypotenuse, Leg — an SSA arrangement that survives, as the special case.)

The grounds, recorded in advance: in a right triangle, the hypotenuse and one leg determine the remaining leg — an immediate consequence of the celebrated Pythagorean theorem, proved in Unit 7 (one debt duly noted) — so all three sides are pinned and SSS takes over. There is also a proof free of Pythagoras, using next lesson's tool; you will meet it there as a problem.

The criteria, assembled

Test	Arrangement	Status
SSS	side · side · side	postulate
SAS	side · included angle · side	postulate
ASA	angle · included side · angle	postulate
AAS	angle · angle · side	theorem (reduces to ASA via the angle sum)
HL	right angle · hypotenuse · leg	theorem (with a debt payable in Unit 7)
AAA	angle · angle · angle	✗ — cannot fix size (equilateral triangles of different sizes)
SSA	side · side · non-included angle	✗ — today's two-triangle counterexample (rescued by HL when the angle is right)

Five pass, two fail — and each failure was certified by a single counterexample. The grammar of mathematical claims, working exactly as advertised.

몸풀기Warm-up

배운 것을 그대로 손에 익히는 단계straightforward practice to get moving

문제Problem 1 몸풀기Warm-up

각 정보 묶음이 어느 합동 조건에 해당하는지, 혹은 합동을 보장하지 못하는지 답하여라.

(a) 두 쌍의 각과 그 끼인변 (b) 두 쌍의 각과 끼이지 않은 한 변 (c) 세 쌍의 각 (d) 직각, 빗변, 다른 한 변

For each bundle, name the congruence criterion it matches — or say it fails to guarantee congruence.

(a) two pairs of angles and the included side (b) two pairs of angles and a non-included side (c) three pairs of angles (d) a right angle, the hypotenuse, and one leg

정답과 풀이Answer & solution

정답 · (a) ASA (b) AAS (c) 보장 못 함(AAA) (d) HL

Answer · (a) ASA (b) AAS (c) no guarantee (AAA) (d) HL

(a) ASA, (b) AAS, (d) HL — 전부 합동을 강제한다. (c)는 AAA — 모양만 정하고 크기를 못 정한다(크기 다른 두 정삼각형이 반례).

(a) ASA, (b) AAS, (d) HL — each forces congruence. (c) is AAA — it fixes shape but not size (two equilateral triangles of different sizes refute it).

문제Problem 2 몸풀기Warm-up

$\triangle ABC$ 와 $\triangle DEF$ 에서 $\angle A = \angle D$ , $AB = DE$ , $\angle B = \angle E$ 다. 합동 조건과 함께 합동을 선언하여라.

In $\triangle ABC$ and $\triangle DEF$ : $\angle A = \angle D$ , $AB = DE$ , $\angle B = \angle E$ . Declare the congruence with its criterion.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

\triangle ABC \cong \triangle DEF

(ASA)

Answer ·

\triangle ABC \cong \triangle DEF

(ASA)

변 $AB$ 는 $\angle A$ 와 $\angle B$ 사이에, $DE$ 는 $\angle D$ 와 $\angle E$ 사이에 끼어 있다 — 각·끼인변·각이 완성되어 ASA. 대응 $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ 로 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .

Side $AB$ is included between $\angle A$ and $\angle B$ , and $DE$ between $\angle D$ and $\angle E$ — angle, included side, angle: ASA. With the correspondence $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ , $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .

문제Problem 3 몸풀기Warm-up

$\triangle ABC$ 와 $\triangle DEF$ 에서 $\angle A = \angle D$ , $\angle B = \angle E$ , $BC = EF$ 다. 두 삼각형은 합동인가? 조건 이름과 함께 답하여라.

In $\triangle ABC$ and $\triangle DEF$ : $\angle A = \angle D$ , $\angle B = \angle E$ , $BC = EF$ . Are the triangles congruent? Answer with the criterion's name.

정답과 풀이Answer & solution

정답 · 합동 — AAS

Answer · Congruent — AAS

변 $BC$ 는 $\angle B$ 와 $\angle C$ 의 끼인변인데 $\angle C$ 는 주어지지 않았다 — 주어진 두 각 기준으로는 끼이지 않은 변이므로 ASA가 아니라 AAS다. AAS는 내각합으로 $\angle C = \angle F$ 가 따라 나와 ASA로 환원되는 정리 — 합동이 맞다: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .

Side $BC$ is included between $\angle B$ and $\angle C$ , but $\angle C$ isn't given — relative to the two given angles the side is non-included, so this is AAS, not ASA. AAS is the theorem that reduces to ASA once the angle sum supplies $\angle C = \angle F$ — so yes: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .

문제Problem 4 몸풀기Warm-up

두 삼각형이 "두 쌍의 변과 한 쌍의 각"이 각각 같은데도 합동이 아닐 수 있는가?

Can two triangles agree in "two pairs of sides and one pair of angles" and still fail to be congruent?

정답과 풀이Answer & solution

정답 · 있다 — 각이 두 변 사이에 끼이지 않은 경우(SSA)

Answer · Yes — when the angle is not included between the two sides (SSA)

각이 끼인각이면 SAS라 합동이 강제되지만, 끼이지 않으면(SSA) 본문의 컴퍼스 그림처럼 같은 자료로 서로 다른 두 삼각형( $ABC_1$ , $ABC_2$ )이 만들어질 수 있다. "몇 개가 같은가"만이 아니라 어디에 있는가가 조건의 생명이다.

If the angle is the included one, that is SAS and congruence is forced. If not (SSA), the compass figure in the lesson builds two different triangles ( $ABC_1$ and $ABC_2$ ) from identical data. What matters is not merely how many parts agree but where they sit.

핵심Core

이 차시의 목표 수준the target level for this lesson

문제Problem 5 핵심Core

$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ 이고 $\angle A = 40°$ , $\angle B = 60°$ , $DF = 9$ 다. $AC$ 와 $\angle F$ 를 구하여라.

$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ , with $\angle A = 40°$ , $\angle B = 60°$ , and $DF = 9$ . Find $AC$ and $\angle F$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

AC = 9

\angle F = 80°

Answer ·

AC = 9

;

\angle F = 80°

$DF$ 의 대응변은 $AC$ 이므로 $AC = 9$ . $\angle F$ 의 대응각은 $\angle C$ 이고, 내각합으로

\angle C = 180 - 40 - 60 = 80° \implies \angle F = 80°.

검산: $40 + 60 + 80 = 180$ ✓.

$DF$ corresponds to $AC$ , so $AC = 9$ . $\angle F$ corresponds to $\angle C$ , and the angle sum gives

\angle C = 180 - 40 - 60 = 80° \implies \angle F = 80°.

Check: $40 + 60 + 80 = 180$ ✓.

문제Problem 6 핵심Core

두 삼각형에 대한 각 상황을 SSS · SAS · ASA · AAS · HL · "판정 불가" 중 하나와 짝지어라.

(a) 세 쌍의 대응변이 같다. (b) 두 직각삼각형의 빗변과 한 변이 각각 같다. (c) 두 쌍의 각과 그 사이 변이 같다. (d) 두 쌍의 변과 끼이지 않은 한 각이 같다.

Match each situation to one of SSS · SAS · ASA · AAS · HL · "no verdict."

(a) Three pairs of corresponding sides are equal. (b) Two right triangles have equal hypotenuses and one pair of equal legs. (c) Two pairs of angles and the side between them are equal. (d) Two pairs of sides and a non-included angle are equal.

정답과 풀이Answer & solution

정답 · (a) SSS (b) HL (c) ASA (d) 판정 불가

Answer · (a) SSS (b) HL (c) ASA (d) no verdict

(a) SSS. (b) 직각·빗변·변 — HL. (c) 각·끼인변·각 — ASA. (d) SSA 배열 — 어느 조건도 아니고, 실제로 합동이 아닐 수 있다(본문 반례).

(a) SSS. (b) Right angle, hypotenuse, leg — HL. (c) Angle, included side, angle — ASA. (d) The SSA arrangement — no criterion, and genuinely capable of failing (the lesson's counterexample).

문제Problem 7 핵심Core 증명proof

점 $P$ 는 $\angle AOB$ 의 이등분선 위에 있다. $P$ 에서 두 변 $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ 에 내린 수선의 발을 각각 $X$ , $Y$ 라 할 때, $PX = PY$ 임을 증명하여라.

Point $P$ lies on the bisector of $\angle AOB$ . Let $X$ and $Y$ be the feet of the perpendiculars from $P$ to the sides $\overrightarrow{OA}$ and $\overrightarrow{OB}$ . Prove that $PX = PY$ .

힌트Hint

$\triangle OXP$ 와 $\triangle OYP$ 에서 재료 셋을 찾아라 — 변은 하나뿐이어도 된다.

Hunt for three ingredients in $\triangle OXP$ and $\triangle OYP$ — one side is enough.

풀이와 채점 기준Solution & grading notes

문장	근거
① $\angle XOP = \angle YOP$	$\overrightarrow{OP}$ 는 $\angle AOB$ 의 이등분선 — 이등분선의 정의
② $\angle OXP = \angle OYP = 90°$	수선 — 수직의 정의
③ $OP = OP$	반사성
④ $\triangle OXP \cong \triangle OYP$	①, ②, ③ — AAS
⑤ $PX = PY$	대응변

$\blacksquare$

수확을 문장으로 읽으면 — 각의 이등분선 위의 점은 각의 두 변에서 같은 거리에 있다. 수직이등분선·이등분선을 본격적으로 다루는 단원에서 이 문장은 주연으로 승격된다.

채점 기준. ① 이등분선·수직에서 각 두 쌍 추출(1점) ② 공통변 $OP$ (반사성)와 AAS 선언(1점) ③ 대응변 수확(1점). ( $\angle OPX = \angle OPY$ 를 내각합으로 먼저 얻어 ASA로 가도 만점.)

Statement	Reason
① $\angle XOP = \angle YOP$	$\overrightarrow{OP}$ bisects $\angle AOB$ — definition of bisector
② $\angle OXP = \angle OYP = 90°$	Perpendicular feet — definition of perpendicular
③ $OP = OP$	Reflexive property
④ $\triangle OXP \cong \triangle OYP$	①, ②, ③ — AAS
⑤ $PX = PY$	Corresponding sides

$\blacksquare$

Read the harvest as a sentence — a point on an angle's bisector is equidistant from the angle's two sides. In the unit devoted to bisectors, this sentence gets promoted to a starring role.

Grading. ① Extracts the two angle pairs from the bisector and the perpendiculars (1 pt) ② registers the shared $OP$ (reflexivity) and declares AAS (1 pt) ③ harvests the sides (1 pt). (Deriving $\angle OPX = \angle OPY$ first via the angle sum and closing with ASA also earns full credit.)

문제Problem 8 핵심Core 증명proof

$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ 이고 $AB = CD$ 다. 선분 $\overline{AC}$ 와 $\overline{BD}$ 가 점 $P$ 에서 만날 때, $P$ 가 $\overline{AC}$ 의 중점임을 증명하여라.

$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ and $AB = CD$ . Segments $\overline{AC}$ and $\overline{BD}$ meet at $P$ . Prove that $P$ is the midpoint of $\overline{AC}$ .

힌트Hint

$\triangle ABP$ 와 $\triangle CDP$ — 각 재료 둘은 평행선이 대 준다.

$\triangle ABP$ and $\triangle CDP$ — the parallels supply both angle ingredients.

풀이와 채점 기준Solution & grading notes

문장	근거
① $\angle BAP = \angle DCP$	엇각 정리 — $\overline{AC}$ 는 평행선의 횡단선
② $\angle ABP = \angle CDP$	엇각 정리 — $\overline{BD}$ 도 횡단선
③ $AB = CD$	주어진 조건
④ $\triangle ABP \cong \triangle CDP$	①, ③, ② — ASA
⑤ $AP = CP$	대응변 — 즉 $P$ 는 $\overline{AC}$ 의 중점

$\blacksquare$

④에서 같은 논리로 $BP = DP$ 도 나온다 — $P$ 는 $\overline{BD}$ 의 중점이기도 하다. "평행하고 길이가 같은 한 쌍의 변"이 두 대각선을 서로 이등분하게 만든 것 — 평행사변형 단원에서 주인공이 될 구조를 미리 만났다.

채점 기준. ① 엇각 두 쌍 확보(1점) ② ASA 선언 — 변 $AB$ 가 두 각 사이 끼인변임을 배열로 보임(1점) ③ 대응변 수확(1점).

Statement	Reason
① $\angle BAP = \angle DCP$	Alternate angles — $\overline{AC}$ is a transversal of the parallels
② $\angle ABP = \angle CDP$	Alternate angles — $\overline{BD}$ is a transversal too
③ $AB = CD$	Given
④ $\triangle ABP \cong \triangle CDP$	①, ③, ② — ASA
⑤ $AP = CP$	Corresponding sides — that is, $P$ is the midpoint of $\overline{AC}$

$\blacksquare$

The same congruence also yields $BP = DP$ — $P$ is the midpoint of $\overline{BD}$ too. One pair of sides, parallel and equal, forces the two diagonals to bisect each other — a structure that will headline the parallelograms unit, met here in advance.

Grading. ① Secures both alternate-angle pairs (1 pt) ② declares ASA, displaying $AB$ as the included side (1 pt) ③ harvests the corresponding sides (1 pt).

문제Problem 9 핵심Core

$\angle C = \angle F = 90°$ 인 두 직각삼각형 $ABC$ , $DEF$ 에서 $AB = DE = 13$ , $BC = EF = 5$ 다. 두 삼각형은 합동인가? 조건과 함께 답하여라.

Right triangles $ABC$ and $DEF$ have $\angle C = \angle F = 90°$ , with $AB = DE = 13$ and $BC = EF = 5$ . Are they congruent? Answer with the criterion.

정답과 풀이Answer & solution

정답 · 합동 — HL

Answer · Congruent — HL

직각의 대변인 $AB$ 와 $DE$ 가 빗변이고 그 길이가 같으며, 다리 한 쌍( $BC = EF$ )도 같다 — 직각·빗변·변이 갖춰져 HL로 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .

배열만 보면 SSA(변·변·끼이지 않은 직각)임에 주의 — 일반 SSA는 탈락이지만 직각이라는 특수 사정이 이 배열을 구출한다.

$AB$ and $DE$ , opposite the right angles, are the hypotenuses, and they are equal; one pair of legs ( $BC = EF$ ) matches as well — right angle, hypotenuse, leg: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ by HL.

Note the arrangement is SSA (side, side, non-included right angle) — ordinarily disqualified, but the right angle is exactly the special circumstance that rescues it.

도전Challenge

아이디어를 결합해야 풀리는 문제problems that take more than one idea

문제Problem 10 도전Challenge 서술형written response

그림은 각 $A$ , 변 $AB$ , 길이 $BC$ 가 전부 같은 두 삼각형 $ABC_1$ 과 $ABC_2$ 를 보여 준다. 이 그림이 "SSA는 합동 조건이 아니다"의 반례가 되는 이유를 설명하여라.

B를 중심으로 한 원호가 밑변과 두 번 만난다.

The figure shows two triangles $ABC_1$ and $ABC_2$ sharing angle $A$ , side $AB$ , and the length $BC$ . Explain why this figure is a counterexample proving "SSA is not a congruence criterion."

The arc centered at B crosses the base twice.

힌트Hint

두 삼각형이 공유하는 것과 다른 것을 각각 짚어라.

Point out precisely what the triangles share, and what they don't.

풀이와 채점 기준Solution & grading notes

두 삼각형은 $\angle A$ (공통), 변 $AB$ (공통), 그리고 $BC_1 = BC_2$ (같은 원호의 반지름)로 — SSA가 요구하는 세 자료를 완전히 공유한다.

그러나 합동이 아니다: $\triangle ABC_2$ 는 $C$ 의 각이 예각이고 $\triangle ABC_1$ 은 둔각이다(또는 $AC_1 \neq AC_2$ 만 지적해도 된다 — 대응해야 할 변의 길이가 다르다).

따라서 "SSA 자료가 같으면 합동"이라는 주장에는 반례가 존재하고, 반례 하나로 주장은 무너진다. 원호가 밑변과 두 점에서 만난다는 것 — 끼이지 않은 변은 흔들릴 자유가 있다는 것 — 이 실패의 기하학적 이유다.

채점 기준. ① 세 자료의 일치 확인(1점) ② 합동이 아님을 구체적으로 지적(각의 종류 또는 변 길이)(1점) ③ 반례 하나로 조건이 기각된다는 결론(1점).

The triangles share $\angle A$ (common), side $AB$ (common), and $BC_1 = BC_2$ (radii of one arc) — the full SSA package.

Yet they are not congruent: in $\triangle ABC_2$ the angle at $C$ is acute, in $\triangle ABC_1$ obtuse (or simply note $AC_1 \neq AC_2$ — sides that would have to correspond differ in length).

So the claim "matching SSA data forces congruence" has a counterexample, and one counterexample sinks it. The arc meeting the base twice — the non-included side's freedom to swing — is the geometric root of the failure.

Grading. ① Confirms the three shared pieces (1 pt) ② exhibits the non-congruence concretely (angle type or side length) (1 pt) ③ concludes that one counterexample rejects the criterion (1 pt).

문제Problem 11 도전Challenge 증명proof

AAS 정리를 증명하여라: $\triangle ABC$ 와 $\triangle DEF$ 에서 $\angle A = \angle D$ , $\angle B = \angle E$ , $BC = EF$ 이면 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ 다.

Prove the AAS theorem: in $\triangle ABC$ and $\triangle DEF$ , if $\angle A = \angle D$ , $\angle B = \angle E$ , and $BC = EF$ , then $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .

힌트Hint

주어진 변 $BC$ 가 어떤 두 각 사이에 끼어 있는지 보라 — 모자란 각은 내각합이 대 준다.

Ask which two angles the given side $BC$ sits between — the missing one is supplied by the angle sum.

풀이와 채점 기준Solution & grading notes

문장	근거
① $\angle C = 180° - \angle A - \angle B$	삼각형 내각합 정리
② $\angle F = 180° - \angle D - \angle E$	삼각형 내각합 정리
③ $\angle C = \angle F$	①, ②에 $\angle A = \angle D$ , $\angle B = \angle E$ 를 대입 — 같은 것에서 같은 것을 뺌
④ $BC = EF$	주어진 조건
⑤ $\triangle ABC \cong \triangle DEF$	$\angle B = \angle E$ , ④, ③ — ASA ( $BC$ 는 $\angle B$ 와 $\angle C$ 의 끼인변)

$\blacksquare$

이 증명이 있으므로 AAS는 공리 목록에 오르지 않는다 — 내각합 정리(그리고 그 뒤의 평행선 공리)가 값을 대신 치렀다. 공리는 아낄수록 좋고, 아낄 수 있는 근거는 언제나 증명이다.

채점 기준. ① 내각합으로 셋째 각 쌍 확보(1점) ② $BC$ 가 $\angle B$ · $\angle C$ 의 끼인변임을 지적(1점) ③ ASA로 마무리(1점).

Statement	Reason
① $\angle C = 180° - \angle A - \angle B$	Triangle Angle Sum Theorem
② $\angle F = 180° - \angle D - \angle E$	Triangle Angle Sum Theorem
③ $\angle C = \angle F$	Substitute $\angle A = \angle D$ and $\angle B = \angle E$ into ①, ② — equals minus equals
④ $BC = EF$	Given
⑤ $\triangle ABC \cong \triangle DEF$	$\angle B = \angle E$ , ④, ③ — ASA ( $BC$ is included between $\angle B$ and $\angle C$ )

$\blacksquare$

With this proof in hand, AAS never needs a seat on the postulate list — the angle sum theorem (and behind it, the parallel postulate) paid its way. The fewer postulates the better, and the license to economize is always a proof.

Grading. ① Secures the third angle pair via the angle sum (1 pt) ② identifies $BC$ as included between $\angle B$ and $\angle C$ (1 pt) ③ closes with ASA (1 pt).

경시Contest

대회 스타일competition style

문제Problem 12 경시Contest

바닷가에 선 관측자가 배 $S$ 까지의 거리를 재고 싶다. 모자챙을 기울여 시선이 챙 끝을 스쳐 정확히 $S$ 에 닿게 맞춘 뒤, 고개의 기울기를 그대로 둔 채 몸만 돌려 이번에는 챙 끝 시선이 해변의 점 $P$ 에 닿는 것을 확인했다(그림 — $F$ 는 발의 위치). 줄자로 잴 것은 무엇이며, 그것이 $FS$ 와 같은 이유는 무엇인가?

모자챙 측량 — 기울기를 고정한 채 몸만 돌린다.

An observer on the shore wants the distance to a ship $S$ . She tilts her hat brim until her line of sight, grazing the brim, lands exactly on $S$ — then, keeping the tilt fixed, turns in place until the brim-line of sight lands on a point $P$ along the beach (see figure; $F$ marks her feet). What should she measure with a tape, and why does it equal $FS$ ?

The hat-brim survey — tilt fixed, body turned.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

FP

를 재면 된다 —

\triangle EFS \cong \triangle EFP

(ASA)이므로

FP = FS

Answer · Measure

FP

— since

\triangle EFS \cong \triangle EFP

(ASA),

FP = FS

눈의 위치를 $E$ , 발을 $F$ 라 하자. 두 번의 관측이 만드는 삼각형 $EFS$ 와 $EFP$ 를 비교한다:

$\angle EFS = \angle EFP = 90°$ — 똑바로 선 몸은 지면과 수직.
$EF = EF$ — 같은 사람의 같은 키(반사성).
$\angle FES = \angle FEP$ — 모자챙 기울기를 고정했으므로 시선과 몸이 이루는 각이 두 번 모두 같다.

각·변·각이 갖춰져 ASA로 $\triangle EFS \cong \triangle EFP$ , 대응변으로 $FP = FS$ . 바다 위 거리 대신 해변 위 $FP$ 를 걸어서 재면 된다.

호수 문제(SAS·맞꼭지각)와 같은 정신, 다른 조건 — 잴 수 없는 거리를 합동으로 복제하는 두 번째 측량술이다.

Let $E$ be her eye and $F$ her feet. Compare the two sighting triangles $EFS$ and $EFP$ :

$\angle EFS = \angle EFP = 90°$ — standing upright is perpendicular to the ground.
$EF = EF$ — the same person's same height (reflexivity).
$\angle FES = \angle FEP$ — the brim's tilt was held fixed, so the sight line makes the same angle with her body both times.

Angle, side, angle: $\triangle EFS \cong \triangle EFP$ by ASA, and corresponding sides give $FP = FS$ . Instead of a distance over water, she paces off $FP$ along the beach.

Same spirit as the lake problem (SAS with vertical angles), different criterion — a second piece of surveying built from congruence, cloning an unmeasurable distance into a measurable one.

문제Problem 13 경시Contest

두 삼각형의 여섯 요소(세 변의 길이, 세 각의 크기) 중 다섯 개가 (값으로서) 같은데도 두 삼각형이 합동이 아닐 수 있는가? 가능하다면 예를 들어라.

Can two triangles agree in five of their six parts (three side lengths, three angle measures — as values) and still fail to be congruent? If so, give an example.

힌트Hint

세 각이 전부 같고 변도 두 개나 겹치는 두 삼각형 — 변들을 등비로 늘여 보라.

Two triangles with all angles equal and even two side values in common — try stretching the sides geometrically.

정답과 풀이Answer & solution

정답 · 가능하다 — 예: 변

8, 12, 18

인 삼각형과 변

12, 18, 27

인 삼각형

Answer · Yes — e.g. a triangle with sides

8, 12, 18

and one with sides

12, 18, 27

변이 $8, 12, 18$ 인 삼각형과 $12, 18, 27$ 인 삼각형을 보자. (둘 다 삼각형이 된다: $8 + 12 = 20 > 18$ ✓, $12 + 18 = 30 > 27$ ✓.)

두 번째 삼각형의 변은 첫 번째의 $\frac32$ 배씩이다: $8 \cdot \frac32 = 12$ , $12 \cdot \frac32 = 18$ , $18 \cdot \frac32 = 27$ . 모든 변이 같은 배율이면 모양이 같아 세 각은 전부 같다(닮음 — 곧 제대로 다룬다). 게다가 변의 값 $12$ 와 $18$ 이 양쪽에 다 등장한다.

그래서 여섯 요소 중 다섯이 값으로 일치한다: 각 셋 + 변 값 둘( $12$ , $18$ ). 그러나 변 셋( $8,12,18$ vs $12,18,27$ )이 다르니 합동일 수 없다.

함정의 정체는 대응이다 — 첫 삼각형의 $12$ 는 "가운데 변"이고 두 번째의 $12$ 는 "가장 짧은 변"이라, 값은 같아도 대응하는 자리가 어긋난다. 합동 조건들이 하나같이 "대응변·대응각"이라고 못 박는 이유가 이 예 하나에 담겨 있다.

Take the triangles with sides $8, 12, 18$ and $12, 18, 27$ . (Both exist: $8 + 12 = 20 > 18$ ✓ and $12 + 18 = 30 > 27$ ✓.)

The second triangle's sides are each $\frac32$ of the first's: $8 \cdot \frac32 = 12$ , $12 \cdot \frac32 = 18$ , $18 \cdot \frac32 = 27$ . Equal scaling of all sides preserves shape, so all three angles agree (similarity — treated properly soon). And the side values $12$ and $18$ appear in both triangles.

So five of the six parts match as values: three angles plus the two side values $12$ and $18$ . Yet the side triples ( $8,12,18$ versus $12,18,27$ ) differ — no congruence possible.

The trap is correspondence — the $12$ is the middle side of the first triangle but the shortest side of the second, so the equal values sit in mismatched positions. Why every criterion insists on "corresponding sides, corresponding angles" is contained in this one example.