Math Atlas

피타고라스 정리The Pythagorean Theorem

GeometryGeometry · 7. 직각삼각형과 삼각비7. Right Triangles & Trigonometry

학습 목표
  • 직각삼각형의 수선 분할에서 닮은 세 삼각형과 곱 관계 세 개를 읽는다.
  • 피타고라스 정리를 닮음으로 증명하고, 재배열 증명을 병기한다.
  • 역을 증명해 직각 판정으로 쓰고, 예각·둔각 판별로 확장한다.

가장 오래 묵은 빚

HL 합동을 세우던 날 "빗변과 다리 하나가 나머지 다리를 결정한다"의 근거를 빚으로 적었고, 마름모의 변(55-1212-1313), 격자의 거리, 등변사다리꼴의 높이를 계산할 때마다 이 정리를 도구로 미리 꺼내 썼다. 오늘이 정식 상환일이다 — 그리고 상환의 열쇠는 방금 완성한 닮음이다.

수선 하나, 닮은 삼각형 셋

∠C=90°\angle C = 90°인 직각삼각형 ABCABC에서 CC로부터 빗변 AB‾\overline{AB}에 수선을 내려 발을 HH라 하자. 그림에는 이제 삼각형이 셋 있다 — 원래의 △ABC\triangle ABC, 왼쪽의 △ACH\triangle ACH, 오른쪽의 △CBH\triangle CBH.

A B C H b a h p q
직각에서 빗변에 내린 수선 — 닮은 삼각형 세 개가 태어난다.

정리(수선 분할) — 세 삼각형은 모두 서로 닮음이다: △ACH∼△ABC∼△CBH\triangle ACH \sim \triangle ABC \sim \triangle CBH.

증명. △ACH\triangle ACH와 △ABC\triangle ABC는 ∠A\angle A를 공유하고 직각을 하나씩 가진다(∠AHC=∠ACB=90°\angle AHC = \angle ACB = 90°) — AA. △CBH\triangle CBH와 △ABC\triangle ABC도 ∠B\angle B 공유 ++ 직각 — AA. 닮음의 추이성으로 셋 다 닮음이다. ■\blacksquare

닮음마다 곱 관계가 하나씩 떨어진다(지난 단원 마지막 문제의 무늬 그대로 — 짧긴=짧긴\frac{\text{짧}}{\text{긴}} = \frac{\text{짧}}{\text{긴}}을 교차로 곱한다). BC=aBC = a, CA=bCA = b, AB=cAB = c, AH=pAH = p, BH=qBH = q (p+q=cp + q = c), CH=hCH = h로 놓으면:

b2=pc,a2=qc,h2=pq.b^2 = pc, \qquad a^2 = qc, \qquad h^2 = pq.

첫째는 △ACH∼△ABC\triangle ACH \sim \triangle ABC에서 AHAC=ACAB\frac{AH}{AC} = \frac{AC}{AB}, 둘째는 오른쪽 닮음에서, 셋째는 △ACH∼△CBH\triangle ACH \sim \triangle CBH에서 AHCH=CHBH\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{BH} — 변 하나의 제곱이 빗변 조각들의 곱이 되는 관계들이다.

피타고라스 정리: 두 곱을 더하면

정리(피타고라스) — 직각삼각형에서 두 다리의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2.

증명(닮음). 방금의 곱 관계 두 개를 더한다:

a2+b2=qc+pc=(q+p) c=c⋅c=c2.■a^2 + b^2 = qc + pc = (q + p)\,c = c \cdot c = c^2. \qquad \blacksquare

수선이 빗변을 두 조각으로 가르고, 각 다리의 제곱이 자기 쪽 조각을 책임진다 — 정리가 "제곱들이 빗변 위에서 분업한다"는 그림으로 읽힌다.

증명(재배열, 병기). 한 변이 a+ba + b인 정사각형 안에 직각삼각형 네 장을 두 방식으로 배치한다 — 한 방식은 가운데에 c2c^2 정사각형을, 다른 방식은 a2a^2과 b2b^2 두 정사각형을 남긴다. 같은 큰 정사각형에서 같은 네 장을 뺐으므로 남은 넓이끼리 같다:

c2=a2+b2.c^2 = a^2 + b^2.

c² a b b a = b² a² b a
같은 정사각형, 같은 네 장 — 남는 넓이가 c² 하나이거나 a² + b² 둘이거나.

두 증명은 성격이 다르다 — 닮음 증명은 이 과정의 정리 사슬 위에 서 있고, 재배열 증명은 눈으로 납득이 빠르다. 둘 다 가질 것.

역: 직각의 판정

정리(역) — 삼각형의 세 변이 a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2을 만족하면, 길이 cc인 변의 대각은 직각이다.

증명. 다리의 길이가 aa, bb인 직각삼각형을 하나 새로 만든다. 방금 증명한 정리로 그 빗변은 a2+b2=c\sqrt{a^2 + b^2} = c다. 그러면 원래 삼각형과 새 삼각형은 세 변이 aa, bb, cc로 전부 같다 — SSS 합동. 대응각에서 원래 삼각형의 cc 대각도 90°90°다. ■\blacksquare

"성질을 증명해 두면 판정은 짧다" — 이번에는 본보기 삼각형을 지어 SSS로 포개는 수법이다. 33-44-55 밧줄로 직각을 만드는 고대의 측량술이 이 역 정리의 응용이고, 판별은 부등식으로도 확장된다: 긴 변 cc에 대해

c2<a2+b2  ⟺  예각삼각형,c2>a2+b2  ⟺  둔각삼각형c^2 < a^2 + b^2 \iff \text{예각삼각형}, \qquad c^2 > a^2 + b^2 \iff \text{둔각삼각형}

— 다리 aa, bb 사이의 각을 벌리면 맞은편 변이 길어진다(경첩 정리)는 사실이, 90°90°를 경계로 세 경우를 가른다.

주의

정리도 역도 직각의 위치를 정확히 짚어야 한다 — a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2에서 직각은 cc의 대각이지 아무 각이 아니다. 판별 때는 반드시 가장 긴 변을 cc 자리에 놓고 비교하라 — 66-88-1010에서 62+102≠826^2 + 10^2 \ne 8^2을 보고 "직각 아님"이라 하면 자리 배치부터 틀린 것이다.

Goals
  • Read the three similar triangles and three product relations in a right triangle's altitude split.
  • Prove the Pythagorean theorem by similarity, with the rearrangement proof alongside.
  • Prove the converse as a right-angle test, and extend it to the acute/obtuse discriminant.

The oldest debt on the books

The day HL congruence was built, we logged as debt the claim that a hypotenuse and one leg determine the other leg; and every time a rhombus's side (55-1212-1313), a grid distance, or an isosceles trapezoid's height was computed, this theorem was borrowed as a tool. Today is settlement day — and the key to the settlement is the similarity we just finished building.

One altitude, three similar triangles

In right triangle ABCABC with ∠C=90°\angle C = 90°, drop the altitude from CC to the hypotenuse AB‾\overline{AB}, with foot HH. The figure now holds three triangles — the original △ABC\triangle ABC, the left △ACH\triangle ACH, the right △CBH\triangle CBH.

A B C H b a h p q
The altitude to the hypotenuse — three similar triangles are born.

Theorem (altitude split) — All three triangles are similar: △ACH∼△ABC∼△CBH\triangle ACH \sim \triangle ABC \sim \triangle CBH.

Proof. △ACH\triangle ACH and △ABC\triangle ABC share ∠A\angle A and each carry a right angle (∠AHC=∠ACB=90°\angle AHC = \angle ACB = 90°) — AA. △CBH\triangle CBH and △ABC\triangle ABC share ∠B\angle B plus right angles — AA. Transitivity finishes all three. ■\blacksquare

Each similarity drops one product relation (the exact motif of last unit's final problem — cross-multiply shortlong=shortlong\frac{\text{short}}{\text{long}} = \frac{\text{short}}{\text{long}}). Writing BC=aBC = a, CA=bCA = b, AB=cAB = c, AH=pAH = p, BH=qBH = q (so p+q=cp + q = c), CH=hCH = h:

b2=pc,a2=qc,h2=pq.b^2 = pc, \qquad a^2 = qc, \qquad h^2 = pq.

The first comes from △ACH∼△ABC\triangle ACH \sim \triangle ABC via AHAC=ACAB\frac{AH}{AC} = \frac{AC}{AB}; the second from the right-hand similarity; the third from △ACH∼△CBH\triangle ACH \sim \triangle CBH via AHCH=CHBH\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{BH} — relations where one side squared equals a product of hypotenuse pieces.

The Pythagorean theorem: add two products

Theorem (Pythagoras) — In a right triangle, the legs' squares sum to the hypotenuse's square: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2.

Proof (by similarity). Add two of the product relations:

a2+b2=qc+pc=(q+p) c=c⋅c=c2.■a^2 + b^2 = qc + pc = (q + p)\,c = c \cdot c = c^2. \qquad \blacksquare

The altitude cuts the hypotenuse into two pieces, and each leg's square accounts for its own piece — the theorem reads as a division of labor among squares, settled on the hypotenuse.

Proof (rearrangement, alongside). Inside a square of side a+ba + b, place four copies of the right triangle in two ways — one leaves a central c2c^2 square, the other leaves two squares a2a^2 and b2b^2. Same big square, same four triangles removed, so the leftovers match:

c2=a2+b2.c^2 = a^2 + b^2.

c² a b b a = b² a² b a
Same square, same four copies — what remains is one c², or a² plus b².

The two proofs differ in character — the similarity proof stands on this course's chain of theorems; the rearrangement proof persuades the eye instantly. Own both.

The converse: a test for right angles

Theorem (converse) — If a triangle's sides satisfy a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, the angle opposite the side of length cc is right.

Proof. Build a new right triangle with legs aa and bb. By the theorem just proved, its hypotenuse is a2+b2=c\sqrt{a^2 + b^2} = c. The original triangle and the new one now agree in all three sides aa, bb, cc — SSS congruence. Corresponding angles make the original's angle opposite cc equal to 90°90°. ■\blacksquare

"Prove the property and the test comes cheap" — this time by building a model triangle and overlaying with SSS. The ancient surveyor's trick of making right angles with a 33-44-55 rope applies exactly this converse. And the test extends to an inequality: with cc the longest side,

c2<a2+b2  ⟺  acute triangle,c2>a2+b2  ⟺  obtuse trianglec^2 < a^2 + b^2 \iff \text{acute triangle}, \qquad c^2 > a^2 + b^2 \iff \text{obtuse triangle}

— opening the angle between legs aa, bb lengthens the opposite side (the hinge theorem), and 90°90° is the boundary sorting the three cases.

Watch out

Both the theorem and its converse pin the right angle to a location — in a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, the right angle is the angle opposite cc, not just any angle. When testing, always seat the longest side in the cc chair — looking at 66-88-1010 and checking 62+102≠826^2 + 10^2 \ne 8^2 fails at the seating chart, not the arithmetic.