점·선·면Points, Lines & Planes

GeometryGeometry · 1. 논증의 기초1. Reasoning & Proof

학습 목표

점·직선·평면이 왜 정의 없이 출발하는 용어인지 설명할 수 있다.
직선·반직선·선분을 기호로 구별해 쓰고, 도형 기호와 길이 기호를 가려 쓸 수 있다.
"두 점은 직선 하나를 결정한다"는 공리로 간단한 사실을 논증할 수 있다.
선분의 덧셈과 중점을 방정식과 결합해 길이를 구할 수 있다.

사전에서 시작하는 이야기

점이란 무엇인가. 사전을 찾으면 "위치"라고 나온다. 그럼 위치란? "자리". 자리란? "무엇이 있거나 있어야 할 곳" — 낱말들이 서로를 가리키며 원을 그린다. 사전은 이렇게 돌아도 괜찮지만, 논증은 안 된다. 모든 낱말을 앞선 낱말로 정의하려 들면 끝이 없으니, 어딘가에서는 정의 없이 출발해야 한다.

기하는 딱 셋을 정의 없이 받아들인다. 점, 직선, 평면 — 이름하여 무정의 용어다. 정의하는 대신 이들이 어떻게 행동하는지를 약속으로 못 박고, 그 약속만 가지고 논증을 쌓는다. 그림이 주는 직관은 물론 살아 있다:

점은 위치만 있고 크기가 없다. 종이에 찍은 연필 자국은 점의 그림이지 점이 아니다 — 아무리 뾰족한 연필도 자국에는 넓이가 있으니까.
직선은 곧고, 양쪽으로 한없이 뻗고, 두께가 없다.
평면은 평평하고, 모든 방향으로 한없이 펼쳐지고, 두께가 없다.

점 A, 직선 l, 평면 P.

표기 약속: 점은 대문자 $A$ , $B$ 로, 직선은 위에 두 점을 얹은 $\overleftrightarrow{AB}$ 또는 소문자 $\ell$ , $m$ 으로, 평면은 $P$ 처럼 한 글자로 부른다. 그림의 화살촉은 "여기서 끝나지 않고 계속된다"는 뜻이다.

첫 번째 공리: 두 점이 직선을 정한다

서로 다른 두 점이 있으면, 그 둘을 지나는 직선은 하나, 그리고 오직 하나다. 자를 두 점에 대고 긋는 그 행위다 — 어떻게 대도 같은 선이 나온다. 이 문장은 증명하지 않고 출발점으로 받아들인다. 이렇게 출발점 노릇을 하는 문장을 공리라 하는데, 공리가 무엇이고 왜 필요한지는 다음 차시에서 제대로 다루기로 하고, 오늘은 이 공리가 당장 해내는 일 두 가지를 보자.

이름이 성립한다. $\overleftrightarrow{AB}$ 라는 이름이 통하는 근거가 바로 유일성이다. $A$ 와 $B$ 를 지나는 직선이 둘이라면 " $\overleftrightarrow{AB}$ "가 어느 쪽을 가리키는지 알 수 없다. 하나뿐이니 두 점만 대면 직선이 특정된다. 같은 직선 위에 점 $C$ 가 더 있다면 $\overleftrightarrow{AC}$ 도 $\overleftrightarrow{BC}$ 도 같은 직선의 다른 이름일 뿐이다.

첫 논증이 나온다. 서로 다른 두 직선은 몇 개의 점에서 만날 수 있을까? 많아야 한 점이다. 두 직선이 서로 다른 두 점 $P$ , $Q$ 를 함께 지난다고 해 보자. 그러면 $P$ 와 $Q$ 를 지나는 직선이 둘 있는 셈인데, 공리는 하나뿐이라고 말한다. 모순이다. 그러니 애초에 두 점을 함께 지나는 일이 불가능했던 것이다 — 그려 보지도, 재 보지도 않고 세상 모든 두 직선에 대해 결론이 났다. "그렇다고 치면 모순이 터진다"로 미는 이 논법은 앞으로 자주 만난다.

직선에서 잘라낸 것들

직선에서 부분을 잘라내면 새 도형 둘이 나온다. 여기부터는 무정의 용어 위에 세우는 정의다.

선분 $\overline{AB}$ 는 두 점 $A$ , $B$ 와 그 사이의 점 전부다 — 양 끝이 있다. 반직선 $\overrightarrow{AB}$ 는 $A$ 에서 출발해 $B$ 쪽으로 한없이 뻗는다 — 시작만 있고 끝이 없다. 반직선은 출발점을 앞에 쓴다. $\overrightarrow{AB}$ 와 $\overrightarrow{BA}$ 는 출발점부터 다른 서로 다른 반직선이다. 순서쌍 $(2,3)$ 과 $(3,2)$ 가 다르듯, 기호의 순서가 정보를 담는다.

같은 두 점 A, B로 만드는 세 가지 — 직선, 반직선, 선분.

이름	기호	끝
직선	$\overleftrightarrow{AB}$	없음 — 양쪽으로 한없이
반직선	$\overrightarrow{AB}$	$A$ 에서 시작, $B$ 쪽으로 한없이
선분	$\overline{AB}$	$A$ 와 $B$ , 양 끝
길이	$AB$	기호 없음 — $\overline{AB}$ 의 길이인 수

마지막 줄이 은근히 중요하다. $\overline{AB}$ 는 도형(점들의 모임)이고, 막대를 벗긴 $AB$ 는 그 선분의 길이, 곧 수다. 수끼리는 $AB = CD$ 처럼 등호로 비교하고 더하고 뺄 수 있다 — 이 차시 후반의 계산이 전부 이 신분으로 이루어진다. 도형끼리 "같다"고 말하는 도구는 따로 있는데(합동), 삼각형을 다룰 때 제대로 만난다.

한 직선 위에, 한 평면 위에

여러 점이 모두 한 직선 위에 있을 때 한 직선 위에 있다고 말한다. 두 점은 언제나 한 직선 위에 있지만(방금의 공리), 세 점부터는 이야기가 갈린다 — 나란히 놓일 수도, 삼각형처럼 벌어질 수도 있다.

한 직선 위에 있지 않은 세 점은 평면 하나를 결정한다 — 이것도 공리 목록에 올라간다. 카메라 삼각대와 세발 의자가 울퉁불퉁한 바닥에서도 덜컹거리지 않는 이유다: 다리 끝 세 점이 어디에 닿든 그 셋을 담는 평면이 꼭 하나 있다. 네발 의자는 넷째 다리 끝이 나머지 셋이 정한 평면에서 벗어날 수 있어서 덜컹거린다.

두 평면이 만나면 어떻게 될까. 벽과 천장, 반쯤 펼친 책을 보면 만나는 자취는 언제나 직선이다 — 이 역시 공리로 받아들인다.

두 평면이 만나는 자취는 직선이다.

선분의 덧셈

점 $B$ 가 $A$ 와 $C$ 사이에 있다고 하자. "사이"라는 말에는 세 점이 한 직선 위에 있고 $B$ 가 가운데라는 뜻이 전부 담겨 있다. 그러면

AB + BC = AC.

부분 둘을 이으면 전체 — 당연해서 증명할 거리도 없어 보이지만, 바로 그래서 공리 목록에 올린다. 논증에서는 당연한 것일수록 공개적으로 약속하고 써야 한다. 몰래 쓰는 당연함은 구멍이 된다. 이 약속을 선분의 덧셈 공리라 부르자.

B가 A와 C 사이에 있으면 AB + BC = AC.

예제 1 · 방정식이 도형에 출근하다

한 직선 위에 $A$ , $B$ , $C$ 가 이 순서로 있고 $AB = 2x + 3$ , $BC = 3x - 1$ , $AC = 27$ 이다. $AB$ 와 $BC$ 를 구하여라.

풀이. $B$ 가 $A$ 와 $C$ 사이에 있으므로 선분의 덧셈 공리로

(2x + 3) + (3x - 1) = 27 \implies 5x + 2 = 27 \implies x = 5.

따라서 $AB = 2(5) + 3 = 13$ , $BC = 3(5) - 1 = 14$ .

검산: $13 + 14 = 27$ ✓.

중점: 선분을 반으로

$\overline{AB}$ 위의 점 $M$ 이 $AM = MB$ 를 만족하면, $M$ 을 $\overline{AB}$ 의 중점이라 하고 $M$ 이 선분을 이등분한다고 말한다. 선분의 덧셈과 합치면 자주 쓰는 꼴이 나온다:

AM = MB = \tfrac12 AB.

그림에서는 두 토막이 같다는 것을 같은 개수의 눈금 표시로 적는다 — 말없이 "이 둘은 같다"라고 쓰는 기하의 속기다.

눈금 표시 하나씩: AM = MB.

참고

정의를 다시 보면 조건이 둘이다 — $\overline{AB}$ 위에 있을 것, 그리고 두 끝에서 같은 거리일 것. "같은 거리" 하나만으로는 중점이 되지 못한다. 왜 두 조건이 다 필요한지는 다음 차시에서 정의를 검사하는 법을 배우며 확인한다.

예제 2 · 중점 방정식

$M$ 은 $\overline{AB}$ 의 중점이고 $AM = 3x - 2$ , $MB = x + 8$ 이다. $AB$ 를 구하여라.

풀이. 중점의 정의로 $AM = MB$ :

3x - 2 = x + 8 \implies 2x = 10 \implies x = 5.

$AM = 3(5) - 2 = 13$ 이고 $MB = 5 + 8 = 13$ 으로 같다 ✓. 따라서

AB = AM + MB = 26.

이 차시 내내 한 일은 하나다 — 당연해 보이는 것들에 정확한 이름과 공개된 근거를 달았다. 유난이 아니라 준비다. 앞으로 세울 정리 수백 개가 전부 오늘 놓은 이 몇 개의 약속 위에 올라간다.

Goals

Explain why points, lines, and planes are terms that start out undefined.
Write and read the symbols for lines, rays, and segments, and tell figure symbols apart from length symbols.
Reason from the postulate that two points determine exactly one line.
Combine segment addition and midpoints with equations to find lengths.

A story that starts in the dictionary

What is a point? A dictionary says "a location." And a location? "A place." A place? "Where something is" — the words chase each other in a circle. A dictionary is allowed to loop like that; an argument is not. Try to define every word using earlier words and you never reach the bottom, so somewhere, we must start without definitions.

Geometry starts with exactly three words it refuses to define: point, line, and plane — the undefined terms. Instead of definitions, we pin down how they behave through agreements, and build every argument on those agreements alone. The mental pictures still matter:

A point has a location and no size. A pencil dot on paper is a picture of a point, not a point — even the sharpest pencil leaves a mark with area.
A line is straight, extends without end in both directions, and has no thickness.
A plane is flat, spreads without end in every direction, and has no thickness.

Point A, line l, plane P.

Notation: points get capital letters $A$ , $B$ ; a line is written with two of its points as $\overleftrightarrow{AB}$ , or with a lowercase letter like $\ell$ or $m$ ; a plane gets a single letter such as $P$ . The arrowheads in a drawing mean "this does not stop here."

The first postulate: two points determine a line

Given two different points, there is one and only one line through both. It is the act of laying a ruler against two points — however you place it, the same line comes out. We accept this sentence without proof, as a starting point. A sentence that serves as a starting point is called a postulate. What postulates are and why we need them is next lesson's business; today, watch this one do two jobs right away.

It makes the name work. The reason " $\overleftrightarrow{AB}$ " succeeds as a name is uniqueness. If two lines passed through $A$ and $B$ , the symbol wouldn't tell you which one is meant. Since there is only one, naming two points pins down the line. If a point $C$ also sits on it, then $\overleftrightarrow{AC}$ and $\overleftrightarrow{BC}$ are just other names for the same line.

It powers a first argument. In how many points can two different lines meet? At most one. Suppose two lines both passed through two different points $P$ and $Q$ . Then two lines would pass through $P$ and $Q$ — but the postulate says only one does. Contradiction. So meeting twice was impossible in the first place — and we settled it for every pair of lines in the world without drawing or measuring a single one. This move — "suppose it were so, and watch a contradiction erupt" — will serve us again and again.

Cutting pieces out of a line

Cut a line down and two new figures appear. From here on, these are definitions, built on top of the undefined terms.

The segment $\overline{AB}$ is the two points $A$ and $B$ together with everything between them — it has two ends. The ray $\overrightarrow{AB}$ starts at $A$ and runs on forever through $B$ — a start but no end. A ray's starting point is written first: $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{BA}$ are different rays with different starting points. Just as the ordered pairs $(2,3)$ and $(3,2)$ differ, the order inside the symbol carries information.

Three figures from the same two points A and B — a line, a ray, a segment.

Name	Symbol	Ends
Line	$\overleftrightarrow{AB}$	none — endless both ways
Ray	$\overrightarrow{AB}$	starts at $A$ , endless toward $B$
Segment	$\overline{AB}$	both ends, $A$ and $B$
Length	$AB$	no bar — a number, the length of $\overline{AB}$

That last row matters more than it looks. $\overline{AB}$ is a figure (a set of points); strip the bar and $AB$ is that segment's length, a number. Numbers are the ones we compare with equals signs, add, and subtract — every calculation later in this lesson runs on lengths. (Figures have their own way of being "equal," called congruence; it takes the stage with triangles.)

On one line, on one plane

When several points all lie on a single line, we call them collinear. Any two points are collinear (that was the postulate), but three points can go either way — lined up, or spread out like a triangle.

Three points that are not collinear determine exactly one plane — another entry on the postulate list. This is why camera tripods and three-legged stools never rock on a bumpy floor: wherever the three feet land, exactly one plane holds them. A four-legged chair wobbles because the fourth foot can miss the plane the other three determine.

And when two planes meet? Look at a wall meeting the ceiling, or a half-opened book: the meeting trace is always a line. This, too, we take as a postulate.

Two planes meet in a line.

Segment addition

Say the point $B$ is between $A$ and $C$ — a word that quietly carries the whole setup: the three points are collinear and $B$ is the middle one. Then

AB + BC = AC.

Join two parts, get the whole — so obvious it seems beneath proof, and that is exactly why it goes on the postulate list. In an argument, the obvious things especially must be agreed to in the open. Obviousness used in secret is where the holes hide. Call this the Segment Addition Postulate.

If B is between A and C, then AB + BC = AC.

Example 1 · Equations report for duty

Points $A$ , $B$ , $C$ lie on a line in that order, with $AB = 2x + 3$ , $BC = 3x - 1$ , and $AC = 27$ . Find $AB$ and $BC$ .

Solution. $B$ is between $A$ and $C$ , so segment addition gives

(2x + 3) + (3x - 1) = 27 \implies 5x + 2 = 27 \implies x = 5.

So $AB = 2(5) + 3 = 13$ and $BC = 3(5) - 1 = 14$ .

Check: $13 + 14 = 27$ ✓.

The midpoint: halving a segment

A point $M$ on $\overline{AB}$ with $AM = MB$ is the midpoint of $\overline{AB}$ ; we say $M$ bisects the segment. Combined with segment addition, this yields the form you will actually use:

AM = MB = \tfrac12 AB.

In drawings, equal pieces are marked with matching tick marks — geometry's shorthand for writing "these two are equal" without a word.

One tick each: AM = MB.

Note

Read the definition again: it demands two things — $M$ lies on $\overline{AB}$ , and it sits at equal distances from the ends. Equal distances alone do not make a midpoint. Why both conditions earn their place is next lesson's opening act, when we learn to put definitions on trial.

Example 2 · A midpoint equation

$M$ is the midpoint of $\overline{AB}$ , with $AM = 3x - 2$ and $MB = x + 8$ . Find $AB$ .

Solution. By the definition of midpoint, $AM = MB$ :

3x - 2 = x + 8 \implies 2x = 10 \implies x = 5.

Then $AM = 3(5) - 2 = 13$ and $MB = 5 + 8 = 13$ — equal ✓. So

AB = AM + MB = 26.

Everything in this lesson was one job: attaching exact names and public reasons to things that looked too obvious to need them. Not fussiness — groundwork. The hundreds of theorems ahead will stand entirely on the handful of agreements laid down today.