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삼각비The Trigonometric Ratios

GeometryGeometry · 7. 직각삼각형과 삼각비7. Right Triangles & Trigonometry

학습 목표
  • 직각삼각형에서 사인·코사인·탄젠트를 변의 비로 정의한다.
  • 이 비가 삼각형의 크기와 무관하게 각만의 함수임을 닮음으로 증명한다.
  • 30°30°, 45°45°, 60°60°의 삼각비 표를 특수 직각삼각형에서 채우고, 기본 항등식을 유도한다.

각 하나가 모양을 결정한다

직각삼각형에서 예각 하나를 34°34°로 정하면, 나머지 각은 자동으로 56°56°와 90°90°다 — 세 각이 전부 정해졌으니 AA에 의해 모양이 하나로 정해진다. 크기는 제각각이어도 전부 닮음이고, 닮은 도형끼리는 변의 비가 같다.

그렇다면 "빗변에 대한 높이의 비" 같은 값은 삼각형이 아니라 각 34°34° 자체의 소유물이다. 각마다 고유한 비가 붙어 있다면, 그 비에 이름을 붙여 표로 만들어 둘 수 있다 — 그것이 삼각비다.

정의: 세 가지 비

∠C=90°\angle C = 90°인 직각삼각형에서 예각 θ\theta를 하나 고르자. θ\theta의 맞은편 변(대변)을 aa, θ\theta에 붙어 있는 다리(인접변)를 bb, 빗변을 cc라 하면:

sin⁡θ=ac=대변빗변,cos⁡θ=bc=인접변빗변,tan⁡θ=ab=대변인접변.\sin\theta = \frac{a}{c} = \frac{\text{대변}}{\text{빗변}}, \qquad \cos\theta = \frac{b}{c} = \frac{\text{인접변}}{\text{빗변}}, \qquad \tan\theta = \frac{a}{b} = \frac{\text{대변}}{\text{인접변}}.

θ a b c
예각 θ에서 본 세 변 — 대변 a, 인접변 b, 빗변 c.

읽는 기준은 언제나 θ\theta의 자리에서다. 같은 삼각형이라도 다른 예각에서 읽으면 대변과 인접변이 서로 뒤바뀐다 — 이 뒤바뀜이 곧 뒤에 나올 항등식 하나를 만든다.

잘 정의되는가: 닮음의 보증

정의에는 확인할 것이 하나 숨어 있다. sin⁡34°\sin 34°라고 부르려면, 34°34°를 품은 어느 직각삼각형에서 재도 같은 값이 나와야 한다.

정리 — 예각 θ\theta가 같은 두 직각삼각형에서 ac\dfrac{a}{c}, bc\dfrac{b}{c}, ab\dfrac{a}{b}의 값은 각각 같다.

증명. 두 삼각형은 θ\theta와 직각을 공유하므로 AA에 의해 닮음이다. 닮음에서 대응변의 비는 일정하므로 a′a=b′b=c′c=k\dfrac{a'}{a} = \dfrac{b'}{b} = \dfrac{c'}{c} = k. 그러면

a′c′=kakc=ac\frac{a'}{c'} = \frac{ka}{kc} = \frac{a}{c}

이고, 나머지 두 비도 같은 계산이다. ■\blacksquare

θ a a′ c c′ a : c = a′ : c′
같은 θ를 품은 두 직각삼각형 — 크기가 달라도 비는 하나다.

이 보증 덕분에 sin⁡θ\sin\theta는 "삼각형의 성질"이 아니라 각의 함수다. 지난 단원에서 세운 닮음이, 여기서 정의 하나를 통째로 떠받치고 있다.

표 채우기: 특수 직각삼각형의 승격

30°30°, 45°45°, 60°60°의 삼각비는 외울 필요가 없다 — 지난 차시의 두 삼각형에서 읽으면 된다. 45°45°는 변 비 1:1:21:1:\sqrt2에서, 30°30°와 60°60°는 변 비 1:3:21:\sqrt3:2에서:

θ\theta sin⁡θ\sin\theta cos⁡θ\cos\theta tan⁡θ\tan\theta
30°30° 12\dfrac12 32\dfrac{\sqrt3}{2} 33\dfrac{\sqrt3}{3}
45°45° 22\dfrac{\sqrt2}{2} 22\dfrac{\sqrt2}{2} 11
60°60° 32\dfrac{\sqrt3}{2} 12\dfrac12 3\sqrt3
예제

60°60° 열을 검산하자. 1:3:21:\sqrt3:2 삼각형에서 60°60°의 대변은 3\sqrt3, 인접변은 11, 빗변은 22:

sin⁡60°=32,cos⁡60°=12,tan⁡60°=31=3.  ✓\sin 60° = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos 60° = \frac12, \qquad \tan 60° = \frac{\sqrt3}{1} = \sqrt3. \; ✓

tan⁡30°=13\tan 30° = \dfrac{1}{\sqrt3}은 유리화하여 33\dfrac{\sqrt3}{3}으로 적는다.

표를 세로로 읽으면 sin⁡\sin은 각이 커질수록 커지고 cos⁡\cos은 작아진다 — 각을 세울수록 대변은 자라고 인접변은 줄어드는 그림 그대로다.

참고

각을 극단까지 밀면 표가 양끝을 얻는다. θ\theta를 0°0°로 눕히면 대변이 사라지고(sin⁡0°=0\sin 0° = 0) 인접변이 빗변에 포개진다(cos⁡0°=1\cos 0° = 1); 90°90°로 세우면 반대로 sin⁡90°=1\sin 90° = 1, cos⁡90°=0\cos 90° = 0이다. tan⁡90°\tan 90°는 인접변이 00이 되므로 정의되지 않는다.

세 비는 서로 묶여 있다

정의 셋을 나란히 놓으면 관계식이 쏟아진다.

첫째 — tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}. a/cb/c=ab\dfrac{a/c}{b/c} = \dfrac{a}{b}: 분모의 cc가 지워진다.

둘째 — sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1. 피타고라스 a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2의 양변을 c2c^2으로 나누면

(ac)2+(bc)2=1.\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1.

피타고라스 정리가 삼각비의 옷을 입은 것이다 — 새 정리가 아니라 같은 정리의 새 표기다.

셋째 — sin⁡(90°−θ)=cos⁡θ\sin(90° - \theta) = \cos\theta. 같은 삼각형의 다른 예각 90°−θ90° - \theta에서 읽으면 대변과 인접변이 뒤바뀐다: 90°−θ90° - \theta의 대변이 곧 θ\theta의 인접변이므로 sin⁡(90°−θ)=bc=cos⁡θ\sin(90° - \theta) = \dfrac{b}{c} = \cos\theta. 같은 이유로 cos⁡(90°−θ)=sin⁡θ\cos(90° - \theta) = \sin\theta. 표에서 30°30° 행과 60°60° 행이 서로 뒤집힌 채 닮아 있는 이유가 이것이다.

예제

cos⁡θ=513\cos\theta = \dfrac{5}{13}인 예각 θ\theta의 sin⁡θ\sin\theta와 tan⁡θ\tan\theta를 구하자.

인접변 55, 빗변 1313인 본보기 직각삼각형을 그리면 나머지 다리는 169−25=12\sqrt{169 - 25} = 12:

sin⁡θ=1213,tan⁡θ=125.\sin\theta = \frac{12}{13}, \qquad \tan\theta = \frac{12}{5}.

검산 — 항등식으로: sin⁡2θ+cos⁡2θ=144+25169=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = \dfrac{144 + 25}{169} = 1 ✓, sin⁡θcos⁡θ=12/135/13=125=tan⁡θ\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{12/13}{5/13} = \dfrac{12}{5} = \tan\theta ✓. 비 하나가 주어지면 본보기 삼각형 하나로 나머지가 전부 풀린다 — 역의 증명에서 쓴 "본보기 짓기"가 계산 도구로 돌아왔다.

주의

삼각비는 어느 각에서 읽는지가 전부다. sin⁡\sin을 "세로 나누기 빗변"으로 외우면 삼각형이 돌아앉는 순간 무너진다 — 세로가 아니라 θ\theta의 대변, 가로가 아니라 θ\theta의 인접변이다. 문제마다 θ\theta의 자리에 서서 대변·인접변부터 지목하고 시작하라.

다음 차시는 이 표를 들고 현장으로 나간다 — 닿을 수 없는 높이와 거리를, 잴 수 있는 각과 한 변으로 계산한다.

Goals
  • Define sine, cosine, and tangent as side ratios in a right triangle.
  • Prove by similarity that each ratio is a function of the angle alone, independent of the triangle's size.
  • Fill the 30°30°, 45°45°, 60°60° table from the special right triangles, and derive the basic identities.

One angle determines the shape

Fix one acute angle of a right triangle at 34°34° and the remaining angles are automatic: 56°56° and 90°90°. With all three angles pinned, AA says the shape is completely determined. The sizes vary, but every such triangle is similar to every other — and similar figures share their side ratios.

So a value like "height over hypotenuse" belongs not to any particular triangle but to the angle 34°34° itself. If every angle owns its ratios, we can name them and tabulate them — and that is trigonometry.

The definitions: three ratios

In a right triangle with ∠C=90°\angle C = 90°, pick an acute angle θ\theta. Call the side across from θ\theta (the opposite side) aa, the leg touching θ\theta (the adjacent side) bb, and the hypotenuse cc:

sin⁡θ=ac=oppositehypotenuse,cos⁡θ=bc=adjacenthypotenuse,tan⁡θ=ab=oppositeadjacent.\sin\theta = \frac{a}{c} = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \qquad \cos\theta = \frac{b}{c} = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \qquad \tan\theta = \frac{a}{b} = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}.

θ a b c
The three sides as seen from the acute angle θ — opposite a, adjacent b, hypotenuse c.

Everything is read from θ\theta's seat. Read the same triangle from its other acute angle and opposite and adjacent trade places — and that trade will hand us an identity shortly.

Well-defined: similarity's guarantee

One check hides inside the definition. To speak of "sin⁡34°\sin 34°" at all, every right triangle containing 34°34° must yield the same value.

Theorem — Two right triangles with equal acute angles θ\theta have equal values of ac\dfrac{a}{c}, bc\dfrac{b}{c}, and ab\dfrac{a}{b}.

Proof. The triangles share θ\theta and a right angle, so they are similar by AA. Similar triangles have proportional sides: a′a=b′b=c′c=k\dfrac{a'}{a} = \dfrac{b'}{b} = \dfrac{c'}{c} = k. Then

a′c′=kakc=ac,\frac{a'}{c'} = \frac{ka}{kc} = \frac{a}{c},

and the other two ratios go the same way. ■\blacksquare

θ a a′ c c′ a : c = a′ : c′
Two right triangles sharing θ — different sizes, one ratio.

This guarantee is what makes sin⁡θ\sin\theta a function of the angle rather than a property of a triangle. The similarity built last unit is carrying an entire definition on its back here.

Filling the table: the special triangles, promoted

The ratios for 30°30°, 45°45°, 60°60° need no memorizing — read them off last lesson's two triangles. The 45°45° column comes from 1:1:21:1:\sqrt2; the 30°30° and 60°60° columns from 1:3:21:\sqrt3:2:

θ\theta sin⁡θ\sin\theta cos⁡θ\cos\theta tan⁡θ\tan\theta
30°30° 12\dfrac12 32\dfrac{\sqrt3}{2} 33\dfrac{\sqrt3}{3}
45°45° 22\dfrac{\sqrt2}{2} 22\dfrac{\sqrt2}{2} 11
60°60° 32\dfrac{\sqrt3}{2} 12\dfrac12 3\sqrt3
Example

Check the 60°60° row. In the 1:3:21:\sqrt3:2 triangle, the side opposite 60°60° is 3\sqrt3, the adjacent is 11, the hypotenuse 22:

sin⁡60°=32,cos⁡60°=12,tan⁡60°=31=3.  ✓\sin 60° = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos 60° = \frac12, \qquad \tan 60° = \frac{\sqrt3}{1} = \sqrt3. \; ✓

tan⁡30°=13\tan 30° = \dfrac{1}{\sqrt3} is written rationalized, 33\dfrac{\sqrt3}{3}.

Read the table down a column: sin⁡\sin grows with the angle and cos⁡\cos shrinks — exactly the picture of tilting a ladder upright, the opposite side stretching while the adjacent one contracts.

Note

Push the angle to its extremes and the table gains its endpoints. Flatten θ\theta to 0°0°: the opposite side vanishes (sin⁡0°=0\sin 0° = 0) and the adjacent side lies along the hypotenuse (cos⁡0°=1\cos 0° = 1). Stand it up to 90°90°: the reverse, sin⁡90°=1\sin 90° = 1, cos⁡90°=0\cos 90° = 0. And tan⁡90°\tan 90° is undefined — its adjacent side has shrunk to 00.

The three ratios are chained together

Set the three definitions side by side and relations pour out.

First — tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}. a/cb/c=ab\dfrac{a/c}{b/c} = \dfrac{a}{b}: the cc's cancel.

Second — sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1. Divide the Pythagorean relation a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 through by c2c^2:

(ac)2+(bc)2=1.\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1.

The Pythagorean theorem wearing trigonometric clothes — not a new theorem, a new notation for the same one.

Third — sin⁡(90°−θ)=cos⁡θ\sin(90° - \theta) = \cos\theta. Read the same triangle from the other acute angle, 90°−θ90° - \theta: opposite and adjacent swap. The side opposite 90°−θ90° - \theta is precisely θ\theta's adjacent side, so sin⁡(90°−θ)=bc=cos⁡θ\sin(90° - \theta) = \dfrac{b}{c} = \cos\theta; likewise cos⁡(90°−θ)=sin⁡θ\cos(90° - \theta) = \sin\theta. This is why the table's 30°30° and 60°60° rows mirror each other.

Example

An acute angle θ\theta has cos⁡θ=513\cos\theta = \dfrac{5}{13}. Find sin⁡θ\sin\theta and tan⁡θ\tan\theta.

Build a model right triangle with adjacent 55 and hypotenuse 1313; the remaining leg is 169−25=12\sqrt{169 - 25} = 12:

sin⁡θ=1213,tan⁡θ=125.\sin\theta = \frac{12}{13}, \qquad \tan\theta = \frac{12}{5}.

Check with the identities: sin⁡2θ+cos⁡2θ=144+25169=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = \dfrac{144 + 25}{169} = 1 ✓, and sin⁡θcos⁡θ=12/135/13=125=tan⁡θ\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{12/13}{5/13} = \dfrac{12}{5} = \tan\theta ✓. One ratio given, one model triangle drawn, everything else follows — the "build a model" move from the converse proof, returning as a computational tool.

Watch out

Trigonometric ratios are entirely about which angle you read from. Memorize sin⁡\sin as "vertical over hypotenuse" and it collapses the moment the triangle sits differently — it is not the vertical side but θ\theta's opposite, not the horizontal but θ\theta's adjacent. Start every problem by standing at θ\theta and pointing to its opposite and adjacent sides.

Next lesson takes the table into the field — heights and distances you cannot reach, computed from an angle you can measure and one side you can pace off.