삼각형의 닮음 조건Similar Triangles

셋째 각을 각각 채우면 첫 삼각형은 $\{65°, 45°, 70°\}$, 둘째도 $180° - 65° - 70° = 45°$에서 $\{65°, 70°, 45°\}$ — 세 각이 같은 집합이다. 두 쌍(예: $65°$와 $70°$)이 맞으므로 AA로 닮음이다.

주어진 두 각끼리($45° \ne 70°$)만 비교해 "다르다"고 결론짓는 것이 함정 — 셋째 각을 계산해 집합으로 비교해야 한다.

Fill in the third angles: the first triangle is $\{65°, 45°, 70°\}$, and the second's third angle is $180° - 65° - 70° = 45°$, giving $\{65°, 70°, 45°\}$ — the same set. Two matching pairs (say $65°$ and $70°$) trigger AA.

The trap is comparing only the given pairs ($45° \ne 70°$) and declaring them different — compute the third angle and compare as sets.

(가) 두 쌍의 각이 같다 — AA.

(나) 대응변의 비 $\dfrac46 = \dfrac69 = \dfrac23$이 같고 그 끼인각이 $40°$로 같다 — SAS 닮음.

(다) $\dfrac36 = \dfrac5{10} = \dfrac7{14} = \dfrac12$ — 세 비가 전부 같다: SSS 닮음.

조건 이름까지 말하는 습관 — 증명에서 "닮음이다"라고 쓸 때는 반드시 어느 판정이 그것을 보증하는지 근거가 따라붙어야 하기 때문이다.

(a) Two equal angle pairs — AA.

(b) The side ratios $\dfrac46 = \dfrac69 = \dfrac23$ agree and the included angles are both $40°$ — SAS similarity.

(c) $\dfrac36 = \dfrac5{10} = \dfrac7{14} = \dfrac12$ — all three ratios agree: SSS similarity.

Naming the test is the habit that matters — a proof may never write "similar" without the warrant that certifies it.

닮음비는 $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac68 = \dfrac34$이고, $BC \leftrightarrow EF$이므로

검산: $\dfrac68 = \dfrac9{12} = \dfrac34$ ✓.

The scale factor is $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac68 = \dfrac34$, and $BC \leftrightarrow EF$, so

Check: $\dfrac68 = \dfrac9{12} = \dfrac34$ ✓.

나비꼴 — 엇각 두 쌍이 AA를 이룬다.

The butterfly — two alternate-angle pairs make AA.

$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$에서 엇각으로 $\angle OBA = \angle OCD$, $\angle OAB = \angle ODC$ — AA로

대응에서 $OB \leftrightarrow OC$이므로 닮음비는 $\dfrac{OC}{OB} = \dfrac{7.5}{3} = \dfrac52$:

검산 — 대응 확인: $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow C$이므로 $AB \leftrightarrow DC$ ✓. 나비꼴에서 닮음비는 교점에서 나간 대응 조각($OB$와 $OC$)의 비로 읽는 것이 가장 안전하다.

From $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$, alternate angles give $\angle OBA = \angle OCD$ and $\angle OAB = \angle ODC$ — AA yields

The pairing $OB \leftrightarrow OC$ gives the ratio $\dfrac{OC}{OB} = \dfrac{7.5}{3} = \dfrac52$:

Correspondence check: $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow C$, so $AB \leftrightarrow DC$ ✓. In butterflies, the safest read of the ratio is the pair of matching pieces out of the intersection ($OB$ against $OC$).

공통각과 가정이 AA를 이룬다 — 대응은 글자 순서로: $\triangle ADE \sim \triangle ACB$.

The shared angle and the hypothesis make AA — and the letters say $\triangle ADE \sim \triangle ACB$.

$\angle A$ 공통, $\angle ADE = \angle ACB$(가정) — AA로

대응은 $D \leftrightarrow C$, $E \leftrightarrow B$다(글자 순서). 대응변의 비에서

주의 — $D$가 $\overline{AB}$ 위에 있다고 해서 $AD$와 $AB$가 대응하는 것이 아니다. 이 구도(역평행)에서는 $AD \leftrightarrow AC$로 변이 엇갈려 대응한다 — 그림의 위치가 아니라 닮음 선언의 글자가 대응을 정한다.

Shared $\angle A$ plus $\angle ADE = \angle ACB$ (hypothesis) — AA gives

The correspondence is $D \leftrightarrow C$, $E \leftrightarrow B$ (letter order). From corresponding sides,

Caution — $D$ sitting on $\overline{AB}$ does not pair $AD$ with $AB$. In this (anti-parallel) configuration the sides pair crosswise, $AD \leftrightarrow AC$ — the declaration's letters, not the picture's positions, fix the correspondence.

$\overline{AB}$ 위에 $AP = DE$를 잡고 $\overline{PQ} \parallel \overline{BC}$를 그어라. 선불 원리가 $\triangle APQ$의 세 변을 전부 알려 준다.

Mark $AP = DE$ on $\overline{AB}$ and draw $\overline{PQ} \parallel \overline{BC}$ — the advance principle reveals all three sides of $\triangle APQ$.

공통비를 $k = \dfrac{DE}{AB}$라 하자. $\overline{AB}$ 위에 $AP = DE$인 점 $P$를 잡고, $P$를 지나 $\overline{BC}$에 평행한 직선이 $\overline{AC}$와 만나는 점을 $Q$라 하자.

선불 원리(평행선 잘라내기)로 $\triangle APQ \sim \triangle ABC$이고 그 닮음비는 $\dfrac{AP}{AB} = k$다. 그러므로

이제 $\triangle APQ$와 $\triangle DEF$는 세 변이 각각 같다($AP = DE$, $AQ = DF$, $PQ = EF$) — SSS 합동이다.

합동은 닮음비 $1$의 닮음이므로, $\triangle DEF \cong \triangle APQ \sim \triangle ABC$에서 $\triangle DEF \sim \triangle ABC$. $\blacksquare$

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 복사($AP = DE$)와 평행선($PQ \parallel BC$) 설정 + 선불 원리 인용 (1점)
• 가정의 비를 이용해 $AQ = DF$, $PQ = EF$ 도출 (1점)
• SSS 합동과 닮음의 연결로 마무리 (1점)

Let $k = \dfrac{DE}{AB}$ be the common ratio. Mark $P$ on $\overline{AB}$ with $AP = DE$, and let the parallel to $\overline{BC}$ through $P$ meet $\overline{AC}$ at $Q$.

By the advance (parallel-cut) principle, $\triangle APQ \sim \triangle ABC$ with ratio $\dfrac{AP}{AB} = k$. Hence

Now triangles $APQ$ and $DEF$ agree in all three sides ($AP = DE$, $AQ = DF$, $PQ = EF$) — SSS congruence.

Since congruence is ratio-$1$ similarity, $\triangle DEF \cong \triangle APQ \sim \triangle ABC$ chains into $\triangle DEF \sim \triangle ABC$. $\blacksquare$

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The copy ($AP = DE$) and parallel ($PQ \parallel BC$) setup, citing the advance principle (1 pt)
• Deriving $AQ = DF$ and $PQ = EF$ from the hypothesis ratios (1 pt)
• Closing through SSS congruence into similarity (1 pt)

$\overline{AD} \parallel \overline{BC}$에서 엇각으로 $\angle OAD = \angle OCB$, $\angle ODA = \angle OBC$ — AA로 $\triangle OAD \sim \triangle OCB$이고 닮음비는

대응변에서 $AO : OC = 2 : 3$ (같은 이유로 $DO : OB = 2 : 3$이기도 하다).

사다리꼴의 두 대각선은 서로를 밑변의 비로 자른다 — 나비꼴 구도의 표준 수확이고, 평행사변형($AD = BC$일 때 $1:1$, 즉 상호 이등분)이 그 특수 사례로 들어온다.

From $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$, alternate angles give $\angle OAD = \angle OCB$ and $\angle ODA = \angle OBC$ — AA yields $\triangle OAD \sim \triangle OCB$ with ratio

Corresponding sides give $AO : OC = 2 : 3$ (and likewise $DO : OB = 2 : 3$).

A trapezoid's diagonals cut each other in the ratio of the parallel sides — the butterfly's standard harvest, with the parallelogram ($AD = BC$, ratio $1:1$, mutual bisection) folded in as the special case.

변을 크기순으로 짝지어 비를 본다:

— 세 비가 전부 $\dfrac23$: SSS 닮음이고 닮음비는 $2 : 3$이다.

대응을 정하는 규칙 — 가장 짧은 변끼리, 가장 긴 변끼리. 크기순 정렬 없이 아무 변끼리 비를 세우면($\frac6{12}$처럼) 판정이 무너진다. (덤: $6$-$8$-$10$은 $3$-$4$-$5$의 두 배이니 두 삼각형 모두 직각삼각형이고, 닮음이 각을 보존하므로 당연히 함께 직각이다.)

Pair sides by size and compare ratios:

— all three equal $\dfrac23$: SSS similarity at ratio $2 : 3$.

The pairing rule — shortest with shortest, longest with longest. Skip the sorting and ratio arbitrary sides (like $\frac6{12}$) and the test collapses. (Bonus: $6$-$8$-$10$ doubles $3$-$4$-$5$, so both triangles are right triangles — as they must be, since similarity preserves angles.)

선불 원리의 비는 $AD : AB$다 — $AD : DB$가 아니다.

The advance principle's ratio is $AD : AB$ — not $AD : DB$.

$AB = AD + DB = 10$이다. 평행선 잘라내기 원리로 $\triangle ADE \sim \triangle ABC$이고 닮음비는

검산: $\frac{DE}{BC} = \frac9{15} = \frac35$ ✓.

이 유형의 제왕적 함정 — 비를 $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac64$로 잘못 세우는 것. 닮음비는 꼭짓점에서 잰 전체 변에 대한 비($AD:AB$)이지 조각끼리의 비($AD:DB$)가 아니다. $AD:DB$가 활약하는 무대는 다음 차시(선분의 비)에서 따로 열린다.

First, $AB = AD + DB = 10$. The parallel-cut principle gives $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ at ratio

Check: $\frac{DE}{BC} = \frac9{15} = \frac35$ ✓.

The royal trap of this genre — setting the ratio as $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac64$. The similarity ratio measures whole sides from the vertex ($AD:AB$), not piece against piece ($AD:DB$). The stage where $AD:DB$ stars opens separately in the next lesson (segment ratios).

각과 변의 비, 두 갈래를 각각 이어라.

Chain the angles and the side ratios separately.

각 — $\triangle_1$과 $\triangle_2$의 대응각이 같고, $\triangle_2$와 $\triangle_3$의 대응각이 같으므로, 대응을 이어 붙이면 $\triangle_1$과 $\triangle_3$의 대응각도 같다(등식의 추이성).

변 — $\triangle_1$의 어느 변 $a$에 대해 $\triangle_2$의 대응변은 $ja$, $\triangle_3$의 대응변은 $k(ja) = (jk)a$다. 모든 변에서 같은 계산이 성립하므로 대응변의 비가 전부 $jk$로 일정하다.

대응각이 전부 같고 대응변의 비가 일정하므로 $\triangle_1 \sim \triangle_3$, 닮음비 $jk$. (AA만으로도 결론은 나오지만, 닮음비까지 말하려면 변의 사슬이 필요하다.)

확대 $j$배 뒤 확대 $k$배는 확대 $jk$배 — 정의(확대·축소)로 읽으면 한 줄이다. 합동의 추이성(등식 문법의 상속)이 배율의 곱셈으로 일반화된 셈이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 각의 추이 (1점)
• 변의 비 $jk$ 계산 (1점)
• 닮음 성립(조건 인용)과 닮음비 결론 (1점)

Angles — corresponding angles agree between $\triangle_1$ and $\triangle_2$, and between $\triangle_2$ and $\triangle_3$; splicing the correspondences, they agree between $\triangle_1$ and $\triangle_3$ (transitivity of equality).

Sides — a side $a$ of $\triangle_1$ corresponds to $ja$ in $\triangle_2$, which corresponds to $k(ja) = (jk)a$ in $\triangle_3$. The same computation runs for every side, so all corresponding sides share the ratio $jk$.

All angles equal and side ratios constant: $\triangle_1 \sim \triangle_3$ with ratio $jk$. (AA alone settles the similarity, but naming the ratio requires the side chain.)

Scaling by $j$ then by $k$ is scaling by $jk$ — one line, read through the definition. Congruence's transitivity (inherited from the grammar of equality) has generalized into multiplication of scale factors.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• Transitivity of the angles (1 pt)
• The $jk$ side-ratio computation (1 pt)
• Concluding similarity (citing a condition) with the ratio (1 pt)

밑각을 꼭지각으로 표현하라.

Express the base angles through the apex angle.

두 이등변삼각형의 꼭지각을 공통으로 $\alpha$라 하자. 이등변삼각형의 밑각은 밑각 정리로 서로 같고, 내각합에서 각각

이다 — 두 삼각형 모두에서 같은 값이다.

그러므로 꼭지각끼리($\alpha = \alpha$), 밑각끼리($\frac{180°-\alpha}{2}$ 서로 같음) 두 쌍의 대응각이 같다 — AA로 두 삼각형은 닮음이다. $\blacksquare$

"이등변"만으로는 부족했던 것(항상 닮음 판별의 반례)이 "꼭지각까지 같으면" 충분해진다 — 남아 있던 자유도(꼭지각)를 조건이 정확히 지워 주기 때문이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — SAS 닮음(등변 비 1:1··· 아님, 두 삼각형의 등변 비는 다를 수 있으므로 SAS로 하려면 다리 비 동일 확인이 필요 — AA가 정공법)

• 밑각을 $\frac{180°-\alpha}{2}$로 계산 (1점)
• 두 쌍의 각이 같음을 정리 (1점)
• AA 인용으로 마무리 (1점)

Let both apex angles equal $\alpha$. In each triangle the base angles are equal (base angle theorem), and the angle sum makes each of them

— the same value in both triangles.

So the apex angles match ($\alpha = \alpha$) and the base angles match — two pairs of equal corresponding angles: AA gives similarity. $\blacksquare$

Where "isosceles" alone failed (the always-similar counterexample), "with equal apex angles" succeeds — the added condition erases exactly the remaining degree of freedom.

Rubric (any logically correct proof earns full credit — note SAS would require checking the leg ratios separately; AA is the straight road)

• Computing the base angles as $\frac{180°-\alpha}{2}$ (1 pt)
• Assembling the two equal angle pairs (1 pt)
• Citing AA to close (1 pt)

각을 전부 계산해 두고 시작하라 — 36°와 72°뿐이다.

Compute every angle first — only 36° and 72° appear.

밑각은 $\angle ABC = \angle ACB = \frac{180° - 36°}{2} = 72°$이고, 이등분에서 $\angle ABD = \angle DBC = 36°$다.

(1) $\triangle BCD$와 $\triangle ACB$를 비교한다: $\angle DBC = 36° = \angle A$이고, $\angle BCD = \angle ACB$(같은 각) — AA로

(2) 각 추적으로 이등변 둘을 수확한다.

• $\triangle BCD$에서 $\angle BDC = 180° - 36° - 72° = 72° = \angle BCD$ — 밑각 정리의 역으로 $BC = BD$.
• $\triangle ABD$에서 $\angle ABD = 36° = \angle A$ — 같은 논리로 $AD = BD$.

이으면 $BC = BD = AD$. $\blacksquare$

작은 삼각형 $\triangle BCD$가 다시 $36°$-$72°$-$72°$ — 원본과 닮은 황금 삼각형이다. 이등분을 반복하면 닮은 삼각형이 무한히 태어나는 자기 복제 구조이고, (1)의 닮음에서 $\frac{BC}{AC} = \frac{CD}{CB}$, 즉 $BC^2 = AC \cdot CD$ — 이등변 단원에서 예고했던 황금비가 이 등식의 해로 숨어 있다(정오각형의 변과 대각선이 정확히 이 비율이다).

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 각 재고 정리(72·36 전부) (1점)
• (1) AA 두 근거 명시 (1점)
• (2) 이등변 둘을 각각 판정(밑각 정리의 역)으로 수확 (1점)

The base angles are $\angle ABC = \angle ACB = \frac{180° - 36°}{2} = 72°$, and the bisector gives $\angle ABD = \angle DBC = 36°$.

(1) Compare $\triangle BCD$ with $\triangle ACB$: $\angle DBC = 36° = \angle A$, and $\angle BCD = \angle ACB$ (the same angle) — AA yields

(2) Angle chasing harvests two isosceles triangles.

• In $\triangle BCD$: $\angle BDC = 180° - 36° - 72° = 72° = \angle BCD$ — the converse of the base angle theorem gives $BC = BD$.
• In $\triangle ABD$: $\angle ABD = 36° = \angle A$ — likewise $AD = BD$.

Chaining, $BC = BD = AD$. $\blacksquare$

The small triangle $BCD$ is again $36°$-$72°$-$72°$ — a golden triangle similar to the original. Repeated bisection breeds similar triangles without end — self-replication — and the similarity in (1) gives $\frac{BC}{AC} = \frac{CD}{CB}$, i.e. $BC^2 = AC \cdot CD$, the equation whose solution is the golden ratio promised back in the isosceles unit (a regular pentagon's side and diagonal stand in exactly this ratio).

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The full angle inventory ($72$s and $36$s) (1 pt)
• (1) AA with both warrants named (1 pt)
• (2) Both isosceles triangles harvested via the converse (1 pt)