뿔Pyramids & Cones

같은 밑면·높이의 직육면체($240$)에 세 번 부어야 차는 양이다.

Three pours fill the matching box ($240$).

$3$-$4$-$5$가 원뿔의 세 길이로 다시 나왔다 — 부피에는 $4$(높이), 옆넓이에는 $5$(모선)가 들어가는 것에 주의.

The $3$-$4$-$5$ returns as a cone's three lengths — note the $4$ (height) goes into the volume, the $5$ (slant) into the side area.

(1) 밑넓이 $36$, 높이 $=$ 중심까지 $\dfrac62 = 3$: $V = \dfrac13 \times 36 \times 3 = 36$.

(2) 정육면체는 이런 뿔 여섯 개로 빈틈없이 갈라지므로 $V = \dfrac{216}{6} = 36$.

두 계산이 만난다 — $\frac13$ 공식의 출발점이 된 검산 그 자체다.

(1) Base area $36$, height $=$ distance to center $= \dfrac62 = 3$: $V = \dfrac13 \times 36 \times 3 = 36$.

(2) The cube splits exactly into six such pyramids: $V = \dfrac{216}{6} = 36$.

The two computations meet — this is the very check that launched the $\frac13$ formula.

부채꼴의 반지름은 $\ell = 6$, 호는 밑둘레 $2\pi \times 2 = 4\pi$. 반지름 $6$인 원의 전체 둘레는 $12\pi$이므로

중심각은 $\dfrac{r}{\ell}$이 결정한다 — 모선이 길수록(뾰족할수록) 부채꼴은 좁아진다.

The sector has radius $\ell = 6$ and arc equal to the base circumference $2\pi \times 2 = 4\pi$. A full radius-$6$ circle has circumference $12\pi$, so

The ratio $\dfrac{r}{\ell}$ decides the angle — the longer the slant (the sharper the cone), the narrower the sector.

꼭짓점을 중심으로 뿔을 $\dfrac{t}{h}$배로 축소하면, 밑면은 정확히 거리 $t$의 단면 자리로 온다 — 즉 단면은 밑면과 닮음이고 닮음비가 $\dfrac{t}{h}$다. 넓이 비는 닮음비의 제곱이므로

이제 밑넓이 $S$·높이 $h$가 같은 두 뿔을 나란히 세우면, 모든 높이 $t$에서 두 단면의 넓이가 위 식으로 똑같다. 카발리에리의 원리 — 모든 높이에서 단면 넓이가 같으면 부피가 같다 — 에 의해 두 뿔의 부피는 같다. 그래서 사각뿔에서 계산한 $\frac13 Sh$가 원뿔에도, 어떤 밑면의 뿔에도 그대로 적용된다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• 단면 $=$ 밑면의 $\frac{t}{h}$ 축소 닮음 (1점)
• 넓이 비 $= k^2$ 적용 (1점)
• 카발리에리로 부피 동일 결론 (1점)

Shrinking the solid about its apex by the factor $\dfrac{t}{h}$ carries the base exactly onto the cross-section at distance $t$ — so the cross-section is similar to the base with ratio $\dfrac{t}{h}$. Area scales as the ratio squared:

Now stand two pyramids of equal $S$ and $h$ side by side: at every level $t$ their cross-sections have identical areas by the formula above. Cavalieri's principle — equal cross-sections at every height, equal volumes — makes their volumes equal. This is why $\frac13 Sh$, computed for a square pyramid, transfers verbatim to cones and to pyramids over any base.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• Cross-section as the base shrunk by $\frac{t}{h}$ (similarity) (1 pt)
• Area ratio $k^2$ applied (1 pt)
• Cavalieri concluding equal volumes (1 pt)

전체 원뿔: $V = \dfrac13 \pi \times 36 \times 8 = 96\pi$.

잘려 나간 작은 원뿔은 닮음비 $\dfrac48 = \dfrac12$이므로 부피는 $\left(\dfrac12\right)^3 = \dfrac18$:

검산 — 직접: 작은 뿔은 $r = 3$, $h = 4$이므로 $\dfrac13 \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$ ✓. 닮음 $k^3$이 계산을 반으로 줄인다.

Whole cone: $V = \dfrac13 \pi \times 36 \times 8 = 96\pi$.

The removed cone has similarity ratio $\dfrac48 = \dfrac12$, hence volume $\left(\dfrac12\right)^3 = \dfrac18$:

Check directly: the small cone has $r = 3$, $h = 4$, so $\dfrac13 \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$ ✓. Similarity's $k^3$ halves the work.

높이부터: $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ ($6$-$8$-$10$).

부피에는 $8$, 옆넓이에는 $10$ — 두 길이가 각자의 공식으로 갈라져 들어간다.

Height first: $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ (a $6$-$8$-$10$).

The $8$ goes to volume, the $10$ to side area — the two lengths part ways into their own formulas.

높이 절반까지의 물은 전체 컵과 닮음인 작은 원뿔 — 닮음비 $\dfrac12$, 부피 비 $\left(\dfrac12\right)^3 = \dfrac18$:

높이로는 절반인데 양으로는 $\dfrac18$ — 아래로 뾰족한 컵의 아래쪽 절반은 보기보다 훨씬 홀쭉하다. 음료가 "반이나 남았다"고 안심하기 전에 $k^3$을 떠올릴 것.

Water up to half height forms a small cone similar to the cup — ratio $\dfrac12$, volume ratio $\left(\dfrac12\right)^3 = \dfrac18$:

Half the height, an eighth of the drink — the pointed bottom half is far skinnier than it looks. Before feeling reassured that the cup is "still half full," recall $k^3$.

옆면 삼각형의 높이는 뿔의 높이가 아니다 — 밑면 중심에서 변의 중점까지의 거리와 직각삼각형을 이룬다.

The side triangle's height is not the pyramid's height — it forms a right triangle with the center-to-edge-midpoint distance.

옆면 삼각형의 높이(경사 높이)는 뿔의 높이 $12$와 "중심에서 변 중점까지" $5$가 이루는 직각삼각형의 빗변:

옆면은 밑변 $10$, 높이 $13$인 삼각형 네 장:

높이 $12$를 옆면 삼각형에 바로 쓰면 틀린다 — 옆면의 높이는 반드시 한 단계(피타고라스)를 거쳐 나온다.

The side triangle's height (slant height) is the hypotenuse over the pyramid's height $12$ and the center-to-edge-midpoint distance $5$:

Four side triangles of base $10$, height $13$:

Using $12$ directly in the side triangles fails — a slant height always arrives through one Pythagorean step.

옆면을 펼치면 중심각 $120°$의 부채꼴 — 출발점과 도착점은 부채꼴의 두 곧은 변 위의 같은 위치다.

Unrolled, the side is a $120°$ sector — the start and end sit at matching spots on the two straight edges.

옆면을 펼치면 반지름 $6$, 중심각 $120°$의 부채꼴이고, "한 바퀴 돌아 제자리"는 부채꼴의 한쪽 곧은 변 끝에서 다른 쪽 곧은 변 끝으로 가는 것이 된다. 평면에서 최단은 두 점을 잇는 직선 — 두 변이 $6$, 끼인각이 $120°$인 이등변삼각형의 밑변이다:

밑둘레를 따라 도는 길($2\pi \times 2 \approx 12.57$)보다 짧다 — 최단 경로는 옆면을 가로질러 올라갔다 내려오는 곡선이고, 펼쳐야만 보이는 직선이다. ($120°$ 이등변의 밑변은 특수 직각삼각형 차시의 그 계산이다.)

The side unrolls into a sector of radius $6$ and central angle $120°$, and "once around, back to start" becomes a trip from the end of one straight edge to the end of the other. In the plane the shortest route is the straight segment — the base of an isosceles triangle with sides $6$, $6$ and included angle $120°$:

Shorter than walking the rim ($2\pi \times 2 \approx 12.57$) — the optimal path climbs across the surface and descends, a curve that becomes a straight line only when unrolled. (The $120°$ isosceles base is the special-right-triangles computation.)

$V$를 포함하지 않는 세 면을 각각 밑면으로 삼아라. 합동의 근거는 $V$를 지나는 대각선 둘레의 회전 대칭이다.

Use the three faces not containing $V$ as bases. Congruence comes from the rotational symmetry about the diagonal through $V$.

꼭짓점 $V$를 하나 고르고, $V$를 포함하지 않는 세 면을 각각 밑면으로 하는 사각뿔 세 개를 만든다(꼭짓점은 모두 $V$).

빈틈없이 채움. 정육면체 안 임의의 점에서, $V$를 원점으로 한 세 좌표 중 가장 큰 좌표가 어느 것이냐가 그 점이 속한 뿔을 정한다 — 각 뿔은 "한 좌표가 나머지 둘보다 큰" 영역이고, 세 영역이 정육면체 전체를 덮으며 경계(두 좌표가 같은 면)에서만 만난다.

합동. $V$와 반대 꼭짓점을 잇는 대각선을 축으로 $120°$ 돌리면 정육면체가 자기 자신에 포개지면서 세 좌표축이 순환한다 — 세 뿔이 서로에게 옮겨진다. 회전은 합동이므로 세 뿔은 합동이다.

부피. 분할 가산으로 $3V_{\text{뿔}} = a^3$, 즉

— 밑넓이 $a^2$, 높이 $a$인 뿔에서 $\frac13$이 또 한 번 확인된다. 본문의 6분할(중심)과 이 3분할(꼭짓점) — 서로 다른 두 분할이 같은 공식을 떠받친다. 이 3분할 뿔의 옛 이름이 중국 수학서의 양마(陽馬)다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 세 밑면 선택과 "빈틈없이 채움" 논증(최대 좌표 또는 동등한 방법) (1점)
• 대각선 $120°$ 회전으로 합동 (1점)
• $\frac13 a^3$ 결론 (1점)

Pick a vertex $V$ and form three pyramids, each with apex $V$ and base one of the three faces not containing $V$.

They fill the cube. For any point inside, take coordinates with origin $V$: whichever of the three coordinates is largest decides the point's pyramid — each pyramid is the region "one coordinate exceeds the other two," the three regions cover the cube, and they meet only along boundary planes (two coordinates equal).

They are congruent. Rotating $120°$ about the diagonal through $V$ and the opposite vertex maps the cube to itself while cycling the three coordinate axes — carrying each pyramid onto the next. Rotations are congruences, so the three pyramids are congruent.

The volume. By additivity, $3V_{\text{pyr}} = a^3$, so

— the $\frac13$ confirmed once more, now for base $a^2$ and height $a$. The lesson's six-way split (from the center) and this three-way split (from a vertex): two different dissections holding up one formula. This three-way pyramid is the yangma of the classical Chinese texts.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The three bases and the filling argument (max-coordinate or equivalent) (1 pt)
• Congruence via the $120°$ diagonal rotation (1 pt)
• Concluding $\frac13 a^3$ (1 pt)

(3)에서는 빗변에 내린 수선이 두 원뿔의 공통 밑반지름이 된다.

In (3), the altitude to the hypotenuse becomes the shared base radius of two cones.

(1) 다리 $4$를 축으로: 반지름 $3$, 높이 $4$인 원뿔 — $\dfrac13\pi \times 9 \times 4 = 12\pi$.

(2) 다리 $3$을 축으로: 반지름 $4$, 높이 $3$ — $\dfrac13\pi \times 16 \times 3 = 16\pi$.

(3) 빗변을 축으로: 직각 꼭짓점이 그리는 원의 반지름은 빗변 위 수선 $h = \dfrac{3 \times 4}{5} = \dfrac{12}{5}$. 회전체는 이 원을 공통 밑면으로 한 원뿔 두 개(높이의 합 $= 5$):

같은 삼각형인데 축마다 부피가 다르다($16\pi > 12\pi > 9.6\pi$) — 넓이는 도형의 것이지만 부피는 회전축과의 관계의 것이다. 축에서 먼 쪽에 질량이 많을수록 크다.

(1) About the leg $4$: a cone of radius $3$, height $4$ — $\dfrac13\pi \times 9 \times 4 = 12\pi$.

(2) About the leg $3$: radius $4$, height $3$ — $\dfrac13\pi \times 16 \times 3 = 16\pi$.

(3) About the hypotenuse: the right-angle vertex sweeps a circle of radius $h = \dfrac{3 \times 4}{5} = \dfrac{12}{5}$ (the altitude). The solid is two cones sharing that base, with heights summing to $5$:

One triangle, three volumes ($16\pi > 12\pi > 9.6\pi$) — area belongs to the figure, but volume belongs to its relationship with the axis. The more of the figure far from the axis, the bigger the solid.

꼭짓점은 밑면 정삼각형의 무게중심 바로 위에 있다 — 무게중심까지의 거리는 중선의 $\frac23$이다.

The apex sits directly above the base's centroid — which lies $\frac23$ of the way along each median.

밑면은 한 변 $6$인 정삼각형: 넓이 $\dfrac{\sqrt3}{4} \times 36 = 9\sqrt3$, 중선(=높이) $3\sqrt3$.

꼭짓점은 대칭에 의해 밑면의 무게중심 바로 위다. 무게중심은 중선을 $2:1$로 가르므로, 밑면 꼭짓점에서 무게중심까지

옆 모서리 $6$을 빗변으로 하는 직각삼각형에서 정사면체의 높이는

정삼각형 공식, 무게중심 $2:1$, 피타고라스, $\frac13 Sh$ — 네 단원의 도구가 한 문제에 순서대로 출근했다. 검산: 한 변 $6$인 정육면체($216$)의 약 $12\%$ — 정사면체는 뜻밖에 홀쭉하다.

The base is an equilateral triangle of side $6$: area $\dfrac{\sqrt3}{4} \times 36 = 9\sqrt3$, median (= height) $3\sqrt3$.

By symmetry the apex stands directly above the base's centroid, which splits each median $2:1$ — so a base vertex is

from the centroid. The right triangle with lateral edge $6$ as hypotenuse gives the tetrahedron's height:

Equilateral formulas, the centroid's $2:1$, Pythagoras, and $\frac13 Sh$ — four units' tools clocking in, in order, on one problem. Sanity check: about $12\%$ of the edge-$6$ cube ($216$) — a regular tetrahedron is unexpectedly slender.