현과 접선Chords & Tangents

반현·중심거리·반지름의 직각삼각형에서

검산: $4^2 + 3^2 = 25 = 5^2$ ✓. 수선의 발이 현을 이등분한다는 정리가 "반현"을 쓸 자격을 준다.

In the half-chord/center-distance/radius right triangle,

Check: $4^2 + 3^2 = 25 = 5^2$ ✓. The bisection theorem is what licenses working with the half-chord.

반현이 $8$이므로

검산: $8^2 + 6^2 = 100$ ✓ — $6$-$8$-$10$. 현 문제는 언제나 같은 직각삼각형 하나로 내려온다.

The half-chord is $8$, so

Check: $8^2 + 6^2 = 100$ ✓ — a $6$-$8$-$10$. Every chord problem descends to this same right triangle.

접선의 수직 정리로 $\angle OAP = 90°$ — 빗변 $OP = 10$, 다리 $OA = 6$:

접점에 반지름을 긋는 순간 직각삼각형이 완성된다 — 접선 길이는 언제나 이 한 수로 나온다.

Tangent perpendicularity gives $\angle OAP = 90°$ — hypotenuse $OP = 10$, leg $OA = 6$:

Draw the radius to the point of tangency and the right triangle completes itself — tangent lengths always fall to this one move.

(1) $r = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{225} = 15$ ($3$-$4$-$5$의 세 배).

(2) $\dfrac{\ell}{2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{81} = 9$이므로 $\ell = 18$.

중심거리가 $9 \to 12$로 커지자 현이 $24 \to 18$로 짧아졌다 — "멀수록 짧다"가 수치로 확인된다.

(1) $r = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{225} = 15$ (triple the $3$-$4$-$5$).

(2) $\dfrac{\ell}{2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{81} = 9$, so $\ell = 18$.

Center distance up ($9 \to 12$), chord down ($24 \to 18$) — "farther means shorter," verified in numbers.

반현·중심거리·반지름의 관계식 하나면 두 방향이 한꺼번에 잡힌다.

One equation relating half-chord, center distance, and radius captures both directions at once.

반지름 $r$인 원에서 길이 $\ell$인 현의 중심거리를 $d$라 하면, 수직이등분 정리로

$r$는 공통이므로: 두 현의 $\ell$이 같으면 $d^2$이 같고, $d \ge 0$이므로 $d$도 같다. 거꾸로 $d$가 같으면 $\ell^2$이 같고 $\ell > 0$이므로 $\ell$도 같다. $\blacksquare$

한 식이 양방향을 동시에 처리한다 — 길이와 중심거리는 피타고라스를 사이에 둔 일대일 환산 관계다. (합동으로도 된다: 반지름 둘과 현으로 SSS, 또는 반현·반지름의 직각삼각형으로 HL.)

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — SSS/HL 합동 경유 포함)

• 관계식 수립(수직이등분 정리 인용) (1점)
• 길이 같음 → 거리 같음 (1점)
• 거리 같음 → 길이 같음 (1점)

In a circle of radius $r$, a chord of length $\ell$ at center distance $d$ satisfies, by the perpendicular bisection theorem,

With $r$ shared: equal $\ell$ forces equal $d^2$, and $d \ge 0$ makes $d$ equal. Conversely equal $d$ forces equal $\ell^2$, and $\ell > 0$ makes $\ell$ equal. $\blacksquare$

One equation runs both directions — length and center distance are in one-to-one exchange through Pythagoras. (Congruence works too: SSS with two radii and the chord, or HL with the half-chord right triangles.)

Rubric (any logically correct proof earns full credit — including via SSS/HL congruence)

• Establishing the relation, citing the bisection theorem (1 pt)
• Equal lengths → equal distances (1 pt)
• Equal distances → equal lengths (1 pt)

$\overline{PO}$가 $\angle APB$를 이등분한다 — 반쪽 직각삼각형에서 삼각비.

$\overline{PO}$ bisects $\angle APB$ — trigonometry in the half right triangle.

두 접선 정리로 $\overline{PO}$는 $\angle APB$의 이등분선 — $\angle OPA = 30°$. 직각삼각형 $OPA$($\angle A = 90°$)에서 $OA = 6$이 $30°$의 대변이므로

현 $AB$: $PA = PB$이고 $\angle P = 60°$이므로 $\triangle PAB$는 꼭지각 $60°$인 이등변 — 나머지 두 각도 $60°$씩, 정삼각형이다. $AB = PA = 6\sqrt3$.

검산: $OP = \dfrac{6}{\sin 30°} = 12$, $PA = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt3$ ✓.

By the two-tangent theorem $\overline{PO}$ bisects $\angle APB$, so $\angle OPA = 30°$. In right triangle $OPA$ ($\angle A = 90°$), $OA = 6$ sits opposite the $30°$:

For $AB$: $PA = PB$ with $\angle P = 60°$ makes $\triangle PAB$ isosceles with a $60°$ apex — the other angles are $60°$ too: equilateral. So $AB = PA = 6\sqrt3$.

Check: $OP = \dfrac{6}{\sin 30°} = 12$, and $PA = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt3$ ✓.

절차. 호 위에 서로 다른 세 점을 찍고, 이웃한 두 쌍을 이어 현 두 개를 만든다. 각 현의 수직이등분선을 작도하면(컴퍼스로 양 끝에서 같은 반지름의 호를 교차) 두 직선이 한 점에서 만난다 — 그 점이 중심이고, 중심에서 호 위 아무 점까지의 거리가 반지름이다.

근거. 현의 수직이등분선은 중심을 지난다(수직이등분 정리의 역방향). 두 현의 수직이등분선이 각각 중심을 지나므로, 둘의 교점은 중심일 수밖에 없다. 두 수직이등분선이 평행해질 걱정은 없다 — 두 현이 평행하지 않게 잡으면 그 수선들도 평행하지 않다.

호가 아무리 짧아도 절차는 같다 — 원은 세 점만 있으면 하나로 결정되는 도형이라는 사실의 실물 판본이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• 현 두 개 + 수직이등분선 작도 절차 (1점)
• 근거 정리(수직이등분선이 중심을 지남) 인용 (1점)
• 교점 = 중심, 반지름 측정까지 마무리 (1점)

Procedure. Mark three distinct points on the arc and join two neighboring pairs to form two chords. Construct each chord's perpendicular bisector (equal-radius compass arcs from both endpoints); the two lines meet at one point — that point is the center, and its distance to any point of the arc is the radius.

Justification. A chord's perpendicular bisector passes through the center (the converse direction of the bisection theorem). Both bisectors pass through the center, so their intersection can only be the center. Nor can the two bisectors end up parallel — choose the chords non-parallel and their perpendiculars are non-parallel too.

However short the arc, the procedure is the same — the working version of the fact that three points determine a circle.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• The two-chords, two-bisectors construction (1 pt)
• Citing the theorem (bisectors pass through the center) (1 pt)
• Intersection $=$ center, then measuring the radius (1 pt)

접점에 반지름을 그으면 그 반지름이 곧 현의 중심거리다.

The radius to the point of tangency doubles as the chord's center distance.

접점 $T$에 작은 원의 반지름 $\overline{OT} = 6$을 그으면, 접선의 수직 정리로 현 $\perp \overline{OT}$ — 즉 $6$이 이 현의 중심거리다. 큰 원에서

검산: $8^2 + 6^2 = 100$ ✓. 접선 정리와 현 정리가 반지름 하나를 사이에 두고 연결된다 — 안쪽 원의 접점이 바깥 원의 현을 정확히 이등분하는 지점이다.

Draw the small circle's radius $\overline{OT} = 6$ to the tangency point $T$; tangent perpendicularity makes the chord $\perp \overline{OT}$ — so $6$ is the chord's center distance. In the large circle,

Check: $8^2 + 6^2 = 100$ ✓. The tangent theorem and the chord theorem link arms across one radius — the inner tangency point is exactly where the outer chord is bisected.

각 꼭짓점에서 두 접점까지의 거리는 같다 — 접선 길이에 이름을 붙여라.

The two tangent segments from each vertex are equal — name the tangent lengths.

꼭짓점 $A$, $B$, $C$($C$가 직각)에서 접점까지의 접선 길이를 각각 $x$, $y$, $z$라 하자(두 접선 정리로 꼭짓점마다 하나의 값). 직각 꼭짓점 $C$에서는 내접원의 반지름 두 개가 두 변에 수직이므로, 반지름 둘과 접선 둘이 정사각형을 이룬다 — $z = r$.

세 변에서

앞의 두 식을 더하면 $x + y + 2r = 17$, 셋째 식을 빼면 $2r = 4$:

검산 — 넓이로: 내심에서 세 변으로 삼각형을 세 조각 내면 $S = \frac12 r(a+b+c)$, 즉 $30 = \frac12 r \times 30$에서 $r = 2$ ✓ (비비아니 문제와 같은 "넓이 분해" 수법). 직각삼각형 일반식 $r = \dfrac{a + b - c}{2} = \dfrac{5 + 12 - 13}{2} = 2$로도 일치한다.

Let the tangent lengths from vertices $A$, $B$, $C$ ($C$ the right angle) be $x$, $y$, $z$ (one value per vertex, by the two-tangent theorem). At the right-angle vertex $C$, the two incircle radii are perpendicular to the two legs, so two radii and two tangent segments form a square — hence $z = r$.

The three sides give

Adding the first two: $x + y + 2r = 17$; subtracting the third: $2r = 4$, so

Check by area: cutting the triangle from the incenter gives $S = \frac12 r(a+b+c)$, i.e. $30 = \frac12 r \times 30$, so $r = 2$ ✓ (the same area-decomposition move as the Viviani problem). The right-triangle formula $r = \dfrac{a + b - c}{2} = \dfrac{5 + 12 - 13}{2} = 2$ agrees as well.

네 꼭짓점 각각에서 접선 길이에 이름을 붙이면 여덟 조각이 넷으로 줄어든다.

Name the tangent length at each vertex — eight pieces collapse to four.

두 접선 정리에 의해 각 꼭짓점에서 두 접점까지의 거리는 같다. 그 값을 $A$, $B$, $C$, $D$에서 각각 $a$, $b$, $c$, $d$라 하면, 네 변은 접점에서 두 조각으로 갈라져

그러므로

마주 보는 변끼리 더하면 네 접선 길이가 한 번씩 공평하게 들어간다 — 여덟 조각의 문제가 변수 넷의 산수로 줄어드는 것이 전부다. (이 성질은 역도 성립해 외접 사각형의 판정이 되지만, 역의 증명은 이 과정의 범위 밖이다.)

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 꼭짓점별 접선 길이 같음(두 접선 정리 인용) (1점)
• 네 변을 접선 길이의 합으로 분해 (1점)
• 양변이 $a+b+c+d$로 일치함을 결론 (1점)

By the two-tangent theorem, the two tangent segments from each vertex are equal. Call the values $a$, $b$, $c$, $d$ at $A$, $B$, $C$, $D$. Each side splits at its point of tangency:

Therefore

Adding opposite sides uses each tangent length exactly once — an eight-piece problem reduced to arithmetic in four variables, and that is the whole proof. (The converse also holds and serves as a test for circumscribability, but its proof lies beyond this course.)

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Equal tangent segments per vertex, citing the two-tangent theorem (1 pt)
• Splitting the four sides into tangent lengths (1 pt)
• Both sums equal $a+b+c+d$ (1 pt)

현의 길이는 중심거리가 관리한다 — $P$를 지나는 현의 중심거리는 얼마까지 커질 수 있는가?

Chord length is governed by center distance — how large can the center distance of a chord through $P$ get?

$P$를 지나는 현의 중심거리 $d$는 $O$에서 그 현에 내린 수선의 길이다. 수선은 최단이므로 현 위의 점 $P$까지 거리보다 클 수 없다: $d \le OP = 3$, 등호는 수선의 발이 $P$ 자신일 때, 즉 현 $\perp \overline{OP}$일 때다.

현은 중심거리가 클수록 짧으므로, 최단 현은 $d = 3$인 현:

최장 현은 $d = 0$, 즉 $P$를 지나는 지름: $\ell_{\max} = 10$.

검산: $4^2 + 3^2 = 25$ ✓. 최단과 최장이 서로 수직인 한 쌍($\overline{OP}$에 수직인 현과 $\overline{OP}$를 품은 지름)이라는 것도 눈여겨볼 것.

For a chord through $P$, its center distance $d$ is the perpendicular from $O$ to it. The perpendicular is shortest, so $d$ cannot exceed the distance to the chord's point $P$: $d \le OP = 3$, with equality exactly when the perpendicular's foot is $P$ itself — when the chord is $\perp \overline{OP}$.

Longer center distance means shorter chord, so the shortest chord has $d = 3$:

The longest has $d = 0$: the diameter through $P$, $\ell_{\max} = 10$.

Check: $4^2 + 3^2 = 25$ ✓. Note that the extremes are a perpendicular pair — the chord perpendicular to $\overline{OP}$ and the diameter containing it.

중심·현의 중점·호의 꼭대기가 한 직선 위에 있다 — 반지름을 $r$로 놓고 직각삼각형을 찾아라.

The center, the chord's midpoint, and the arc's top are collinear — set the radius $r$ and find the right triangle.

수직이등분 정리에 의해 현의 중점 $M$과 호의 꼭대기 $T$, 중심 $O$는 한 직선(현의 수직이등분선) 위에 있다. $OT = r$이고 $MT = 8$이므로 $OM = r - 8$.

반현 $12$와 $OM$이 이루는 직각삼각형에서

검산: $OM = 5$, $12^2 + 5^2 = 169 = 13^2$ ✓ — 또 $5$-$12$-$13$이다.

현의 길이와 활 높이(시위 높이)만으로 반지름이 복원된다 — 다리 설계, 렌즈 연마, 천문 관측이 공유하는 고전 계산이고, $r^2$이 소거되며 일차방정식으로 내려앉는 구조는 나무 부러진 문제와 같은 무늬다.

By the bisection theorem, the chord's midpoint $M$, the arc's top $T$, and the center $O$ lie on one line (the chord's perpendicular bisector). Since $OT = r$ and $MT = 8$, we get $OM = r - 8$.

The right triangle on the half-chord $12$ and $OM$:

Check: $OM = 5$, and $12^2 + 5^2 = 169 = 13^2$ ✓ — the $5$-$12$-$13$ again.

Chord width and arc height (the sagitta) recover the radius — a classic computation shared by bridge design, lens grinding, and astronomy, and the $r^2$-cancels-to-linear structure is the same pattern as the broken-tree problem.

$M$과 $N$도 각각 원 밖의 점이다 — 두 접선 정리를 세 번 써라.

$M$ and $N$ are external points too — apply the two-tangent theorem three times.

두 접선 정리를 세 점에 적용한다: $P$에서 $PA = PB$, $M$에서 $MA = MC$(둘 다 $M$에서 그은 접선), $N$에서 $NC = NB$.

둘레를 접점 기준으로 갈라서 바꿔치기한다:

$C$가 호 위 어디에 있든 $MC$는 $MA$로, $CN$은 $NB$로 접선 길이끼리 맞교환되고, 조각들이 두 접선 $\overline{PA}$, $\overline{PB}$ 위로 정확히 이어 붙는다. 셋째 접선이 움직여도 둘레는 꿈쩍하지 않는 불변량 — 접선 길이 정리 하나가 만든 보존 법칙이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $M$, $N$에서의 접선 길이 등식 두 개 (1점)
• 둘레를 분해해 바꿔치기 (1점)
• $PA + PB = 2PA$로 마무리 + 위치 무관성 언급 (1점)

Apply the two-tangent theorem at three points: at $P$, $PA = PB$; at $M$, $MA = MC$ (both tangents from $M$); at $N$, $NC = NB$.

Split the perimeter at $C$ and swap:

Wherever $C$ sits on the arc, $MC$ trades for $MA$ and $CN$ for $NB$ — tangent lengths exchanged for tangent lengths — and the pieces reassemble exactly onto the two tangents $\overline{PA}$, $\overline{PB}$. The third tangent slides, the perimeter never moves: a conservation law manufactured by one theorem.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The two tangent-length equations at $M$ and $N$ (1 pt)
• Splitting the perimeter and substituting (1 pt)
• Concluding $PA + PB = 2PA$, noting independence of $C$ (1 pt)