특수 직각삼각형Special Right Triangles

변 비 $1:1:\sqrt2$에서

(1) 빗변 $= 7\sqrt2$.

(2) 다리 $= \dfrac{10}{\sqrt2} = \dfrac{10\sqrt2}{2} = 5\sqrt2$. 검산: $(5\sqrt2)^2 \times 2 = 50 \times 2 = 100 = 10^2$ ✓.

$\sqrt2$를 곱하며 커지는 방향(다리→빗변)과 나누며 작아지는 방향(빗변→다리)을 구분할 것.

From the ratio $1:1:\sqrt2$:

(1) hypotenuse $= 7\sqrt2$.

(2) leg $= \dfrac{10}{\sqrt2} = \dfrac{10\sqrt2}{2} = 5\sqrt2$. Check: $(5\sqrt2)^2 \times 2 = 50 \times 2 = 100 = 10^2$ ✓.

Keep the directions straight: multiply by $\sqrt2$ going leg → hypotenuse, divide coming back.

변 비 $1:\sqrt3:2$ — $1$이 $30°$ 맞은편, $\sqrt3$이 $60°$ 맞은편, $2$가 빗변.

(1) 짧은 변이 비의 $1$이므로 배율은 $4$: 긴 다리 $4\sqrt3$, 빗변 $8$.

(2) 빗변이 비의 $2$이므로 배율은 $7$: 짧은 다리 $7$, 긴 다리 $7\sqrt3$.

검산(2): $7^2 + (7\sqrt3)^2 = 49 + 147 = 196 = 14^2$ ✓.

Ratio $1:\sqrt3:2$ — $1$ opposite $30°$, $\sqrt3$ opposite $60°$, $2$ the hypotenuse.

(1) The short side is the ratio's $1$, so the scale factor is $4$: long leg $4\sqrt3$, hypotenuse $8$.

(2) The hypotenuse is the ratio's $2$, so the scale factor is $7$: short leg $7$, long leg $7\sqrt3$.

Check (2): $7^2 + (7\sqrt3)^2 = 49 + 147 = 196 = 14^2$ ✓.

검산 — 공식 없이: 반쪽 $30$-$60$-$90$은 빗변 $6$, 짧은 다리 $3$, 긴 다리 $3\sqrt3$(높이 ✓); 넓이 $\frac12 \times 6 \times 3\sqrt3 = 9\sqrt3$ ✓.

Check without the formulas: the half triangle is a $30$-$60$-$90$ with hypotenuse $6$, short leg $3$, long leg $3\sqrt3$ (the height ✓); area $\frac12 \times 6 \times 3\sqrt3 = 9\sqrt3$ ✓.

한 변은 $\sqrt{50} = 5\sqrt2$이고, 대각선은 변의 $\sqrt2$배:

지름길 — 대각선의 제곱은 변 제곱의 두 배이므로 $d^2 = 2 \times 50 = 100$, $d = 10$. 넓이에서 대각선로 갈 때는 변을 거치지 않아도 된다.

The side is $\sqrt{50} = 5\sqrt2$, and the diagonal is $\sqrt2$ times that:

Shortcut — the diagonal's square is twice the side's square, so $d^2 = 2 \times 50 = 100$ and $d = 10$: area to diagonal without stopping at the side.

$6$은 비 $1:\sqrt3:2$의 어느 자리인가?

Which seat of $1:\sqrt3:2$ does the $6$ occupy?

$6$이 비의 $\sqrt3$ 자리이므로 배율 $k$는 $k\sqrt3 = 6$에서 $k = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3$.

짧은 다리 $= k = 2\sqrt3$, 빗변 $= 2k = 4\sqrt3$.

검산: $(2\sqrt3)^2 + 6^2 = 12 + 36 = 48 = (4\sqrt3)^2$ ✓. 주어진 변이 $1$도 $2$도 아닌 $\sqrt3$ 자리일 때가 가장 틀리기 쉽다 — 자리 확인이 먼저, 계산은 그다음이다.

The $6$ sits in the ratio's $\sqrt3$ seat, so the scale factor $k$ satisfies $k\sqrt3 = 6$: $k = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3$.

Short leg $= k = 2\sqrt3$, hypotenuse $= 2k = 4\sqrt3$.

Check: $(2\sqrt3)^2 + 6^2 = 12 + 36 = 48 = (4\sqrt3)^2$ ✓. The given side landing on the $\sqrt3$ seat — neither $1$ nor $2$ — is where most errors happen. Identify the seat first, compute second.

수선이 삼각형을 특수 직각삼각형 두 개로 가른다.

The altitude cuts the triangle into two special right triangles.

수선 $AH$가 삼각형을 둘로 가른다.

왼쪽 $\triangle ABH$: $\angle B = 45°$인 직각삼각형 — 직각이등변이므로 $BH = AH = 6$.

오른쪽 $\triangle ACH$: $\angle C = 30°$인 직각삼각형 — $AH = 6$이 $30°$의 맞은편(비의 $1$)이므로 $HC = 6\sqrt3$.

한 높이를 두 특수 삼각형이 공유하는 이 구도는 삼각비 단원의 측량 문제에서 그대로 다시 나온다.

The altitude $AH$ splits the triangle in two.

Left, $\triangle ABH$: right triangle with $\angle B = 45°$ — isosceles right, so $BH = AH = 6$.

Right, $\triangle ACH$: right triangle with $\angle C = 30°$ — $AH = 6$ sits opposite the $30°$ (the ratio's $1$), so $HC = 6\sqrt3$.

Two special triangles sharing one altitude — this exact setup returns in the trigonometry unit's surveying problems.

한 변을 $s$라 하면 $\dfrac{\sqrt3}{2}s = 9$에서

검산: 변 $6\sqrt3$의 높이 $= \dfrac{\sqrt3}{2} \times 6\sqrt3 = \dfrac{6 \times 3}{2} = 9$ ✓. 공식을 거꾸로 타는 문제 — $\sqrt3$으로 나눈 뒤의 유리화까지가 답이다.

With side $s$: $\dfrac{\sqrt3}{2}s = 9$, so

Check: the height of a side-$6\sqrt3$ triangle is $\dfrac{\sqrt3}{2} \times 6\sqrt3 = \dfrac{6 \times 3}{2} = 9$ ✓. Riding the formula backwards — rationalizing after dividing by $\sqrt3$ is part of the answer.

중심과 두 이웃한 꼭짓점을 이으면 어떤 삼각형이 되는가?

What triangle do the center and two adjacent vertices form?

중심과 두 이웃 꼭짓점이 이루는 삼각형은 중심각 $360° \div 6 = 60°$인 이등변 — 정삼각형이다. 정육각형은 한 변이 $4$인 정삼각형 여섯 장이다.

(1) $6 \times \dfrac{\sqrt3}{4} \times 16 = 24\sqrt3$.

(2) 대변 사이 거리는 중심에서 변까지 거리(정삼각형의 높이 $2\sqrt3$)의 두 배: $4\sqrt3$.

검산(2): $2 \times \dfrac{\sqrt3}{2} \times 4 = 4\sqrt3$ ✓.

The center and two adjacent vertices form an isosceles triangle with central angle $360° \div 6 = 60°$ — equilateral. A regular hexagon is six equilateral triangles of side $4$.

(1) $6 \times \dfrac{\sqrt3}{4} \times 16 = 24\sqrt3$.

(2) The distance between opposite sides is twice the center-to-side distance (an equilateral triangle's height, $2\sqrt3$): $4\sqrt3$.

Check (2): $2 \times \dfrac{\sqrt3}{2} \times 4 = 4\sqrt3$ ✓.

대각선이 직사각형을 어떤 직각삼각형 두 개로 가르는가?

What two right triangles does the diagonal cut the rectangle into?

대각선은 직사각형을 합동인 직각삼각형 두 장으로 가른다. 한 장을 보면: 빗변 $8$(대각선), 빗변과 긴 변 사이 각 $30°$ — 그러면 나머지 예각은 $60°$이고, $30°$-$60°$-$90°$이다.

짧은 변은 $30°$의 맞은편: $8 \div 2 = 4$. 긴 변은 $60°$의 맞은편: $4\sqrt3$.

검산: $4^2 + (4\sqrt3)^2 = 16 + 48 = 64 = 8^2$ ✓.

The diagonal cuts the rectangle into two congruent right triangles. In one of them: hypotenuse $8$ (the diagonal), a $30°$ angle against the longer side — so the other acute angle is $60°$, and it is a $30°$-$60°$-$90°$.

The short side sits opposite the $30°$: $8 \div 2 = 4$. The long side sits opposite the $60°$: $4\sqrt3$.

Check: $4^2 + (4\sqrt3)^2 = 16 + 48 = 64 = 8^2$ ✓.

지난 차시의 수선 분할($h^2 = pq$)을 쓰거나, 수선이 만드는 두 작은 삼각형의 각을 읽어라.

Use last lesson's altitude split ($h^2 = pq$), or read the angles of the two small triangles the altitude creates.

풀이 1 — 수선 분할로. 직각이등변삼각형의 수선은 꼭지각에서 내린 이등변의 축이므로 빗변을 이등분한다: $p = q = \dfrac{c}{2}$. 지난 차시의 곱 관계 $h^2 = pq$에서

풀이 2 — 각 추적으로. 수선이 만드는 왼쪽 작은 삼각형은 $45°$(밑각)와 직각을 가지므로 나머지 각도 $45°$ — 작은 삼각형도 직각이등변이다. 그 두 다리는 $p = \dfrac{c}{2}$와 $h$이고, 직각이등변의 두 다리는 같으므로 $h = \dfrac{c}{2}$. $\blacksquare$

수선을 내려도 $45°$가 다시 $45°$를 낳는 것 — 직각이등변은 잘라도 자기 자신이 나오는 도형이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 수선이 빗변을 이등분함(이등변 축)을 근거와 함께 (1점)
• $h^2 = pq$ 적용 또는 작은 삼각형이 직각이등변임을 논증 (1점)
• $h = \frac{c}{2}$ 결론 (1점)

Proof 1 — via the altitude split. The altitude from the apex is the isosceles axis, so it bisects the hypotenuse: $p = q = \dfrac{c}{2}$. Last lesson's product relation $h^2 = pq$ gives

Proof 2 — via angle chasing. The left small triangle has a $45°$ (base angle) and a right angle, so its third angle is $45°$ too — it is itself an isosceles right triangle. Its legs are $p = \dfrac{c}{2}$ and $h$, and an isosceles right triangle's legs are equal: $h = \dfrac{c}{2}$. $\blacksquare$

Dropping the altitude breeds new $45°$s — the isosceles right triangle reproduces itself when cut.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The altitude bisects the hypotenuse (isosceles axis), with justification (1 pt)
• Applying $h^2 = pq$, or arguing the small triangle is isosceles right (1 pt)
• Concluding $h = \frac{c}{2}$ (1 pt)

윗변의 양 끝에서 수선을 내리면 밑변이 세 토막 난다.

Drop altitudes from both ends of the short base — the long base breaks into three pieces.

윗변의 양 끝에서 아랫변에 수선을 내리면 아랫변이 세 토막 난다: 가운데는 윗변과 같은 $4$, 양쪽 삐져나온 토막은 $(10 - 4) \div 2 = 3$씩(등변사다리꼴의 대칭).

양끝의 직각삼각형은 밑각 $60°$의 $30$-$60$-$90$: 밑 토막 $3$이 $30°$의 맞은편(비의 $1$)이므로 빗변(옆변) $= 6$, 높이 $= 3\sqrt3$.

검산: $3^2 + (3\sqrt3)^2 = 9 + 27 = 36 = 6^2$ ✓. 사다리꼴 단원의 "수선 두 개로 삼토막" 수법에 특수 삼각형이 올라탄 문제다.

Dropping altitudes from both ends of the short base cuts the long base into three pieces: the middle matches the short base, $4$; the two overhangs are $(10 - 4) \div 2 = 3$ each (isosceles symmetry).

Each corner right triangle is a $30$-$60$-$90$ with the $60°$ at the base: the overhang $3$ sits opposite the $30°$ (the ratio's $1$), so the slanted leg is $6$ and the height is $3\sqrt3$.

Check: $3^2 + (3\sqrt3)^2 = 9 + 27 = 36 = 6^2$ ✓. The trapezoid unit's "two altitudes, three pieces" move, with a special triangle riding on top.

중점을 이은 선분의 길이를 원래 변으로 나타내면?

Express a midpoint-to-midpoint segment in terms of the original side.

이웃한 두 중점을 잇는 선분은 다리가 $\dfrac{s}{2}$, $\dfrac{s}{2}$인 직각이등변삼각형의 빗변 — 길이 $\dfrac{s}{2}\sqrt2 = \dfrac{s\sqrt2}{2}$이다. 새 넓이는

— 한 번마다 넓이가 정확히 절반이 된다. (새 사각형이 정사각형인 것은 대칭으로: 네 변이 전부 이 길이이고, $45°$ 회전한 배치다.)

넓이는 $256 \to 128 \to 64 \to 32 \to 16 \to 8 \to 4$: 절반을 $6$번.

검산: $256 \div 2^6 = 256 \div 64 = 4$ ✓. 답 $6$번.

A segment joining adjacent midpoints is the hypotenuse of an isosceles right triangle with legs $\dfrac{s}{2}$, $\dfrac{s}{2}$ — length $\dfrac{s}{2}\sqrt2 = \dfrac{s\sqrt2}{2}$. The new area is

— each operation exactly halves the area. (The new figure is a square by symmetry: all four sides have this length, rotated $45°$.)

Areas run $256 \to 128 \to 64 \to 32 \to 16 \to 8 \to 4$: six halvings.

Check: $256 \div 2^6 = 256 \div 64 = 4$ ✓. Answer: $6$.

$P$와 세 꼭짓점을 이어 삼각형을 세 조각 내고, 넓이를 두 방법으로 세어라.

Join $P$ to the three vertices to cut the triangle into three pieces, and count the area two ways.

한 변을 $s$, 높이를 $h = \dfrac{\sqrt3}{2}s$라 하자. $P$와 세 꼭짓점을 이으면 정삼각형이 세 삼각형으로 갈라지고, 각각은 정삼각형의 한 변을 밑변, $P$에서 그 변까지의 거리를 높이로 갖는다:

한편 전체 넓이는 $\dfrac12 s h$이기도 하다. 두 식을 등치하고 $\dfrac12 s$를 소거하면

$P$가 어디에 있든 좌변의 합이 변하지 않는다 — 세 밑변이 전부 같은 $s$라서 $s$로 한 번에 묶였기 때문이고, 그래서 이 정리는 정삼각형에서만 성립한다. "넓이를 두 방법으로 센다"는 지난 차시 $h = \dfrac{ab}{c}$를 꺼낸 바로 그 수법이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $P$로 삼각형을 세 조각으로 분해하고 각 조각의 밑변·높이를 지정 (1점)
• 넓이 합 $= \frac12 s(d_1 + d_2 + d_3)$ 와 전체 넓이 $\frac12 sh$의 등치 (1점)
• 소거 후 결론 + 위치 무관성 언급 (1점)

Let the side be $s$ and the height $h = \dfrac{\sqrt3}{2}s$. Joining $P$ to the three vertices cuts the equilateral triangle into three triangles, each with one side of the equilateral triangle as base and $P$'s distance to that side as height:

But the whole area is also $\dfrac12 s h$. Equating and canceling $\dfrac12 s$:

Move $P$ anywhere and the sum never changes — the three bases are all the same $s$, which is what let us factor at once, and why the theorem belongs to equilateral triangles alone. "Count the area two ways" is the very move that produced $h = \dfrac{ab}{c}$ last lesson.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Decomposing via $P$, with each piece's base and height identified (1 pt)
• Equating the sum $\frac12 s(d_1 + d_2 + d_3)$ with the whole area $\frac12 sh$ (1 pt)
• Canceling to the conclusion, noting independence of $P$'s position (1 pt)