닮음의 뜻Similar Figures

(1) 대응변 $AB \leftrightarrow PQ$에서 닮음비는 $\dfrac{PQ}{AB} = \dfrac64 = \dfrac32$.

(2) $BC \leftrightarrow QR$이므로 $QR = 8 \times \dfrac32 = 12$.

검산 — 비의 일정: $\dfrac64 = \dfrac{12}{8} = \dfrac32$ ✓.

(1) From the pairing $AB \leftrightarrow PQ$, the scale factor is $\dfrac{PQ}{AB} = \dfrac64 = \dfrac32$.

(2) Since $BC \leftrightarrow QR$, $QR = 8 \times \dfrac32 = 12$.

Constancy check: $\dfrac64 = \dfrac{12}{8} = \dfrac32$ ✓.

대응각은 보존된다: $\angle D = \angle A = 70°$, $\angle E = \angle B = 50°$. $\triangle DEF$의 내각합에서

(같은 값이 $\angle C$이기도 하다 — $C \leftrightarrow F$ 대응 ✓.) 닮음에서 각은 그대로, 변만 배율을 탄다.

Corresponding angles are preserved: $\angle D = \angle A = 70°$, $\angle E = \angle B = 50°$. The angle sum in $\triangle DEF$ gives

(The same value is $\angle C$, of course — the pairing $C \leftrightarrow F$ ✓.) In similarity, angles hold still; only sides ride the factor.

(1) 합동이면 배율 $k = 1$의 확대(즉 그대로 두기)로 포개진다 — 정의를 만족하므로 닮음이다. 포함적 설계의 한 축이다.

(2) 변이 $1$인 정삼각형과 변이 $2$인 정삼각형은 닮음($k = 2$)이지만 합동이 아니다 — 대응변의 길이가 다르다.

포함의 화살은 합동 $\Rightarrow$ 닮음 한 방향뿐이다. 오일러 그림으로 그리면 합동 관계는 닮음 관계 안의 작은 원이다.

(1) Congruent figures coincide under scaling by $k = 1$ (i.e. no scaling at all) — the definition is met, so they are similar. One axis of the inclusive design.

(2) Equilateral triangles of sides $1$ and $2$ are similar ($k = 2$) but not congruent — corresponding sides differ.

The inclusion arrow points one way only: congruent $\Rightarrow$ similar. In an Euler picture, congruence is the small circle inside similarity.

축척은 지도와 실제 사이의 닮음비다. 실제 거리는

단위 사다리($\text{cm} \to \text{m} \to \text{km}$)를 두 번 내려온 것까지가 답이다 — $100000\,\text{cm}$에서 멈추면 절반만 푼 것이다. 지도는 국토의 닮은 도형이고, 축척은 그 닮음비라는 것 — 닮음이 일상에서 가장 많이 쓰이는 자리다.

A map scale is a similarity ratio between map and terrain. The actual distance is

Descending the unit ladder ($\text{cm} \to \text{m} \to \text{km}$) is part of the answer — stopping at $100000\,\text{cm}$ is half a solution. A map is a similar copy of the land with the scale as its ratio — similarity's most-used post in daily life.

크기를 빼고도 모양을 바꿀 자유가 남아 있는가?

Once size is removed, is any freedom of shape left?

(가), (마) — 정다각형은 각이 전부 정해져 있고($90°$, $120°$) 변끼리 한 배율로 맞춰진다. 크기 말고는 자유도가 없다. (다) — 원도 반지름(크기)뿐이다.

(나)는 아니다 — $1 : 2$ 직사각형과 $1 : 5$ 직사각형은 각이 다 같아도 어떤 배율로도 포개지지 않는다. (라)도 아니다 — 꼭지각 $20°$인 이등변과 $120°$인 이등변은 모양부터 다르다.

판별 기준은 "크기를 고정한 뒤 남는 자유도" — 자유도가 $0$이면 항상 닮음, 하나라도 남으면(가로세로 비, 꼭지각) 반례가 만들어진다.

(a), (e) — regular polygons have all angles fixed ($90°$, $120°$) and sides matched by a single factor; no freedom but size. (c) — a circle's only parameter is its radius (size).

(b) fails — a $1:2$ rectangle and a $1:5$ rectangle share all angles yet coincide under no magnification. (d) fails too — isosceles triangles with apex $20°$ and apex $120°$ differ in shape outright.

The criterion: degrees of freedom remaining after size is fixed. Zero freedom means always similar; any leftover freedom (aspect ratio, apex angle) manufactures a counterexample.

닮음비 $2:3$은 $ABCD$의 길이에 $\frac32$을 곱하면 $EFGH$가 된다는 뜻이다:

둘레의 비 $=$ 닮음비(본문 정리)가 변 하나하나를 다시 구할 수고를 지워 준다. 검산: $\frac{12}{8} = \frac{45}{30} = \frac32$ ✓.

The ratio $2:3$ says lengths of $ABCD$ times $\frac32$ give $EFGH$:

"Perimeter ratio $=$ scale factor" (the lesson's theorem) erases any need to rebuild the sides one by one. Check: $\frac{12}{8} = \frac{45}{30} = \frac32$ ✓.

이번에는 어느 쪽이 큰 삼각형인지부터.

First decide which triangle is the larger one.

$AB \leftrightarrow DE$에서 $\triangle DEF$ 쪽이 작다 — $\triangle DEF$에서 $\triangle ABC$로의 배율은 $\frac{12}{8} = \frac32$이다. $EF \leftrightarrow BC$이므로

검산: $\frac{AB}{DE} = \frac{12}{8} = \frac32$, $\frac{BC}{EF} = \frac96 = \frac32$ ✓. 닮음비의 방향을 확인하지 않고 $6 \times \frac23 = 4$로 줄여 버리는 것이 이 유형의 대표 오답이다.

From $AB \leftrightarrow DE$, triangle $DEF$ is the smaller — the factor from $\triangle DEF$ to $\triangle ABC$ is $\frac{12}{8} = \frac32$. Since $EF \leftrightarrow BC$,

Check: $\frac{AB}{DE} = \frac{12}{8} = \frac32$ and $\frac{BC}{EF} = \frac96 = \frac32$ ✓. Shrinking instead — $6 \times \frac23 = 4$ — by ignoring the factor's direction is this genre's signature wrong answer.

(1) 배율은 $\frac{24}{10} = \frac{12}{5}$이므로 세로는 $15 \times \frac{12}{5} = 36$.

(2) 둘레의 비 $=$ 닮음비이므로 역시 $\frac{12}{5}$배. (원래 둘레 $50$, 확대 후 $2(24+36) = 120$ — $\frac{120}{50} = \frac{12}{5}$ ✓.)

사진 편집기에서 "비율 고정"을 끄고 한 방향만 늘리면 닮음이 깨진다 — 얼굴이 늘어나 보이는 그 왜곡이 "각은 같지 않게 되고 변의 비가 무너진" 상태다.

(1) The factor is $\frac{24}{10} = \frac{12}{5}$, so the height becomes $15 \times \frac{12}{5} = 36$.

(2) Perimeter ratio $=$ scale factor: also $\frac{12}{5}$. (Original perimeter $50$; enlarged, $2(24+36) = 120$ — and $\frac{120}{50} = \frac{12}{5}$ ✓.)

Turn off "lock aspect ratio" in a photo editor and stretch one direction only, and similarity shatters — that stretched-face distortion is the state of broken side ratios.

각은 이미 전부 같다 — 남는 검사는 가로세로 비뿐이다.

The angles already all agree — the only test left is the aspect ratio.

직사각형끼리는 각이 전부 $90°$로 같으므로, 닮음 여부는 가로세로 비가 전부 결정한다:

$1:2$끼리인 첫 둘은 닮음(배율 $\frac64 = \frac32$로 확인: $8 \times \frac32 = 12$ ✓)이고, $3:5$인 셋째는 어느 쪽과도 닮음이 아니다.

비율을 기약으로 줄여 비교하는 것 — 분수의 약분이 도형 판별의 도구가 되는 자리다.

Among rectangles all angles are $90°$, so similarity is decided entirely by aspect ratio:

The first two, both $1:2$, are similar (factor $\frac64 = \frac32$; indeed $8 \times \frac32 = 12$ ✓); the third, at $3:5$, matches neither.

Reducing ratios to lowest terms as a comparison tool — fraction simplification reporting for geometric duty.

닮음의 정의(확대·축소)가 어떤 길이들을 $k$배로 만드는지 생각하라.

Think about which lengths the definition's scaling multiplies by $k$.

닮음의 정의는 "한 도형을 배율 $k$로 확대·축소하면 다른 도형과 합동"이다. 확대·축소는 도형 위 모든 두 점 사이의 거리를 $k$배로 만든다 — 변만이 아니라, 도형에 딸린 어떤 선분이든 마찬가지다.

대각선은 두 꼭짓점을 잇는 선분이므로 그 길이도 $k$배가 된다. 확대된 도형은 상대와 합동이고 합동은 대응 선분의 길이를 보존하므로, 두 직사각형의 대각선의 비는 정확히 $k$다.

같은 논리로 닮은 도형에서 길이로 잰 것은 무엇이든 — 둘레, 대각선, 높이, 중선 — 전부 비가 $k$다. 이 일반 원리는 다음 차시들에서 "닮은 삼각형의 높이 비 = 닮음비" 같은 꼴로 반복해서 쓰인다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — 예: 대각선이 만드는 두 직각삼각형의 닮음으로 논증)

• 확대·축소가 모든 거리를 $k$배 함을 지적 (1점)
• 대각선도 도형의 두 점을 잇는 선분이라 포함됨 (1점)
• 합동 단계에서 길이 보존으로 마무리 (1점)

The definition says one figure, scaled by factor $k$, becomes congruent to the other. Scaling multiplies the distance between every two points of the figure by $k$ — not just the sides, but any segment attached to the figure.

A diagonal joins two vertices, so its length also gets multiplied by $k$. The scaled figure is congruent to its partner, and congruence preserves corresponding lengths — so the two rectangles' diagonals stand in ratio exactly $k$.

By the same logic, anything measured as a length in similar figures — perimeter, diagonal, height, median — carries the ratio $k$. The coming lessons reuse this general principle repeatedly, e.g. as "the ratio of heights of similar triangles equals the scale factor."

Rubric (any logically correct explanation earns full credit — e.g. via similarity of the right triangles the diagonal creates)

• Notes that scaling multiplies all distances by $k$ (1 pt)
• Includes the diagonal as a segment between two points of the figure (1 pt)
• Closes with length preservation under congruence (1 pt)

(1) 두 정오각형은 대응각이 전부 $108°$로 같고, 변이 각각 일정하므로 대응변의 비도 $\frac{4}{10}$로 일정하다 — 정의의 두 요건이 자동으로 충족된다.

(2) 닮음비는 $4 : 10 = 2 : 5$. 둘레의 비 $=$ 닮음비이므로 역시 $2 : 5$다. (직접: $20 : 50 = 2 : 5$ ✓.)

"정"자가 붙은 도형끼리는 닮음 검사가 필요 없다 — 이름 자체가 모양을 고정하기 때문이다.

(1) Corresponding angles all equal $108°$, and with each pentagon's sides constant, corresponding sides share the ratio $\frac{4}{10}$ — both requirements of the definition hold automatically.

(2) The scale factor is $4 : 10 = 2 : 5$, and perimeter ratio $=$ scale factor: also $2 : 5$. (Directly: $20 : 50 = 2 : 5$ ✓.)

Figures wearing the prefix "regular" never need a similarity check — the name itself pins the shape.

긴 변을 $x$, 짧은 변을 $1$로 놓아라. 반 접은 종이의 긴 변은 무엇이 되는가?

Let the sides be $x$ and $1$. After folding, which side is the long one?

짧은 변을 $1$, 긴 변을 $x$($x > 1$)라 하자. 긴 변을 반으로 접으면 새 종이는 $1 \times \dfrac{x}{2}$ — 이제 긴 변이 $1$, 짧은 변이 $\frac x2$이다($x < 2$인 경우; $x \ge 2$면 닮음식이 성립하지 않음을 아래 식이 걸러 준다).

닮음이려면 (긴 변)$:$(짧은 변)이 같아야 한다:

검산: $\sqrt2 \approx 1.414$짜리 종이를 접으면 $1 \times 0.707$ — 비율 $\frac{1}{0.707} = \sqrt2$ ✓.

실제 A4 용지($297 \times 210\,\text{mm}$)가 정확히 이 설계다 — $\frac{297}{210} \approx 1.414$. 반으로 잘라도(A5) 같은 모양이 유지되므로 확대·축소 복사가 왜곡 없이 돌아간다. 닮음 방정식 하나가 세계 표준 종이 규격의 정체다.

Let the short side be $1$ and the long side $x$ ($x > 1$). Halving the long side leaves a $1 \times \dfrac{x}{2}$ sheet — whose long side is now $1$ and short side $\frac x2$ (assuming $x < 2$; the equation below rules out the rest).

Similarity demands equal long-to-short ratios:

Check: fold a $\sqrt2 \approx 1.414$ sheet and get $1 \times 0.707$ — ratio $\frac{1}{0.707} = \sqrt2$ ✓.

Real A4 paper ($297 \times 210\,\text{mm}$) is exactly this design — $\frac{297}{210} \approx 1.414$. Halving preserves the shape (A5, A6, …), which is why enlarge/reduce photocopying works without distortion. One similarity equation is the identity of the world's paper standard.

긴 변 $x$, 짧은 변 $1$ — 잘라낸 뒤 남는 직사각형의 두 변은?

Long side $x$, short side $1$ — what are the two sides of what remains?

짧은 변을 $1$, 긴 변을 $x$라 하자. 한 변이 $1$인 정사각형을 잘라내면 $1 \times (x - 1)$ 직사각형이 남는다 — 긴 변이 $1$, 짧은 변이 $x - 1$이다($1 < x < 2$ 범위에서).

닮음 조건:

근의 공식으로 $x = \dfrac{1 \pm \sqrt5}{2}$이고, $x > 1$이므로

검산: $x^2 = x + 1$에서 $1.618^2 \approx 2.618 = 1.618 + 1$ ✓.

이 수가 황금비 $\varphi$다 — 이등변 단원의 황금 삼각형($36°$-$72°$-$72°$)과 정오각형 대각선에서 예고했던 그 비율이 "정사각형을 떼어도 모양이 남는 직사각형"이라는 정의로 다시 나타났다. 앞 문제의 $\sqrt2$(반 접기 불변)와 나란히 두면, "어떤 조작에 대해 모양이 불변인가"라는 질문 하나가 서로 다른 무리수 둘을 낳는 것을 볼 수 있다.

Let the short side be $1$ and the long side $x$. Removing a unit square leaves a $1 \times (x - 1)$ rectangle — long side $1$, short side $x - 1$ (in the range $1 < x < 2$).

Similarity demands

The quadratic formula gives $x = \dfrac{1 \pm \sqrt5}{2}$, and $x > 1$ selects

Check: $x^2 = x + 1$, and indeed $1.618^2 \approx 2.618 = 1.618 + 1$ ✓.

This is the golden ratio $\varphi$ — foreshadowed by the golden triangle ($36°$-$72°$-$72°$) of the isosceles unit and the pentagon's diagonals, now reappearing as "the rectangle that keeps its shape when you dock a square." Set beside the previous problem's $\sqrt2$ (invariant under halving), one question — invariant shape under which operation? — begets two different irrationals.