합동변환Rigid Motions

평행이동은 좌표에 걸음을 더하는 것 — 모든 점이 같은 걸음을 걷는다.

Translation adds the step to the coordinates — every point walks the same walk.

(1) $x$축: $y$의 부호만 — $(4, 1)$. (2) $y$축: $x$의 부호만 — $(-4, -1)$. (3) 원점: 둘 다 — $(-4, 1)$.

원점 대칭이 두 축 반사를 이어 한 것과 같다는 것도 눈으로 확인된다: $(4,-1) \to (4,1) \to (-4,1)$ ✓.

(1) $x$-axis: flip the $y$ sign — $(4, 1)$. (2) $y$-axis: flip the $x$ sign — $(-4, -1)$. (3) origin: flip both — $(-4, 1)$.

And the origin reflection visibly equals the two axis reflections chained: $(4,-1) \to (4,1) \to (-4,1)$ ✓.

(1) $(x, y) \mapsto (-y, x)$: $(3, 1) \mapsto (-1, 3)$. (2) $(x, y) \mapsto (-x, -y)$: $(-3, -1)$.

시험점 검산: $(1, 0)$이 반시계로 $(0, 1)$에 가는 규칙인지 확인하고 시작하면 부호가 틀릴 수 없다.

(1) $(x, y) \mapsto (-y, x)$: $(3, 1) \mapsto (-1, 3)$. (2) $(x, y) \mapsto (-x, -y)$: $(-3, -1)$.

Test-point check first — confirm the rule sends $(1, 0)$ to $(0, 1)$ counterclockwise, and the signs cannot go wrong.

$y = x$ 반사는 좌표 교환: $(x, y) \mapsto (y, x)$이므로

거리 확인 — 원래 첫 변 $(1,2)$–$(4,3)$: $\sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$; 상의 첫 변 $(2,1)$–$(3,4)$: $\sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ ✓.

가로 차와 세로 차가 서로 자리를 바꿀 뿐이니, 제곱해 더하면 같은 값이다 — 반사가 강체 운동인 이유가 거리 공식의 대칭성에 그대로 들어 있다.

Reflection across $y = x$ swaps coordinates: $(x, y) \mapsto (y, x)$, so

Distance check — original first side $(1,2)$–$(4,3)$: $\sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$; image side $(2,1)$–$(3,4)$: $\sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ ✓.

Horizontal and vertical differences merely trade places, and squaring-then-adding cannot tell — why reflection is rigid, written into the distance formula's own symmetry.

두 점 $P(x_1, y_1)$, $Q(x_2, y_2)$의 상은 $P'(x_1 + a, y_1 + b)$, $Q'(x_2 + a, y_2 + b)$다. 상 사이의 거리를 거리 공식으로 쓰면

더해진 $a$와 $b$가 차를 만들며 소거된다 — 거리 공식은 좌표의 차만 보므로, 모두에게 같은 것을 더하는 변환은 거리를 건드릴 수 없다. $\blacksquare$

증명이 짧은 것 자체가 내용이다 — "같은 걸음"이라는 정의가 거리 공식의 구조(차만 본다)와 정확히 맞물려 있다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 두 점과 상의 좌표 설정 (1점)
• 거리 공식에서 $a$, $b$ 소거 (1점)
• $P'Q' = PQ$ 결론 (1점)

The images of $P(x_1, y_1)$ and $Q(x_2, y_2)$ are $P'(x_1 + a, y_1 + b)$ and $Q'(x_2 + a, y_2 + b)$. By the distance formula,

The added $a$ and $b$ cancel inside the differences — the distance formula sees only differences, so a transformation adding the same thing to everyone cannot touch distance. $\blacksquare$

The proof's brevity is itself the content — the definition "same step for all" meshes exactly with the formula's structure (differences only).

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Setting up the two points and their images (1 pt)
• The cancellation of $a$, $b$ in the formula (1 pt)
• Concluding $P'Q' = PQ$ (1 pt)

거리.

— 원점에서의 거리가 같으므로 $P'$은 $P$와 같은 원 위에 있다.

수직. $a, b \ne 0$일 때 두 기울기의 곱은

— $\overline{OP} \perp \overline{OP'}$, 회전각이 정확히 $90°$다. ($P$가 축 위에 있으면 — 예: $(a, 0) \mapsto (0, a)$ — 가로 반지름이 세로 반지름으로 가는 것이 직접 보인다.)

회전 방향까지 확인하려면 시험점 하나: $(1, 0) \mapsto (0, 1)$은 반시계다. 거리 보존(같은 원) $+$ 수직(사분의 일 바퀴) $+$ 방향(시험점) — 세 확인이 규칙 $(-y, x)$를 완전히 정당화한다. $\blacksquare$

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — 직각삼각형 합동 논증 포함)

• $OP = OP'$ (1점)
• 기울기 곱 $-1$ (축 위 경우 언급) (1점)
• 방향 확인 (1점)

Distance.

— equal distances from the origin, so $P'$ rides the same circle as $P$.

Perpendicularity. For $a, b \ne 0$, the slopes multiply to

— $\overline{OP} \perp \overline{OP'}$: exactly a quarter turn. (On-axis points show it directly — e.g. $(a, 0) \mapsto (0, a)$, a horizontal radius becoming vertical.)

For the direction, one test point: $(1, 0) \mapsto (0, 1)$ is counterclockwise. Same circle $+$ perpendicular $+$ right direction — three checks fully justify the rule $(-y, x)$. $\blacksquare$

Rubric (any logically correct justification earns full credit — including the congruent right-triangle argument)

• $OP = OP'$ (1 pt)
• Slope product $-1$ (with the on-axis remark) (1 pt)
• The direction check (1 pt)

둘째 단계에서 $(-y, x) = (-(-2), 5) = (2, 5)$ — 부호 두 개가 겹치는 자리가 실수 지점이다.

변환은 적용 순서대로 계산한다 — 순서를 바꾸면 결과가 달라진다(①과 ②를 바꾸면 $(5,2) \to (-2,5) \to (-2,-5) \to (-1,-4)$). 순서가 중요하다는 이 사실이 셋째 차시의 출발점이 된다.

In the second step, $(-y, x) = (-(-2), 5) = (2, 5)$ — the doubled sign is where errors live.

Transformations compute in order of application — swap ① and ② and the result changes ($(5,2) \to (-2,5) \to (-2,-5) \to (-1,-4)$). That order matters is the third lesson's starting point.

$A$와 $A'$은 좌표가 서로 바뀐 쌍 — $y = x$ 반사의 서명이다. 확인: $\overline{AA'}$의 중점 $\left(\frac52, \frac52\right)$는 $y = x$ 위에 있고, $\overline{AA'}$의 기울기 $-1$은 거울선의 기울기 $1$과 수직 ✓ — "중점이 거울선 위, 잇는 선분이 거울선과 수직"이라는 반사의 두 조건이 다 맞는다.

같은 규칙으로 $B(-1, 4) \mapsto (4, -1)$.

$A$ and $A'$ are a coordinate-swapped pair — the signature of the $y = x$ reflection. Verify: the midpoint of $\overline{AA'}$, $\left(\frac52, \frac52\right)$, lies on $y = x$, and the segment's slope $-1$ is perpendicular to the mirror's slope $1$ ✓ — both defining conditions of a reflection (midpoint on the mirror, segment perpendicular to it) hold.

By the same rule, $B(-1, 4) \mapsto (4, -1)$.

회전은 거리를 보존한다 — 중심은 $A$와 $A'$에서 같은 거리에 있어야 한다.

Rotations preserve distance — the center must be equidistant from $A$ and $A'$.

회전 중심은 각 점과 그 상에서 같은 거리에 있으므로, $\overline{AA'}$의 수직이등분선과 $\overline{BB'}$의 수직이등분선의 교점이다.

$\overline{AA'}$: 중점 $\left(\frac12, \frac32\right)$, 기울기 $\dfrac{2-1}{-1-2} = -\dfrac13$ → 수직이등분선 기울기 $3$: $y - \frac32 = 3\left(x - \frac12\right)$, 곧 $y = 3x$.

$\overline{BB'}$: 중점 $(2, 2)$, 기울기 $-1$ → 수직이등분선 $y = x$.

교점: $3x = x \Rightarrow x = 0$ — 원점이다.

회전각: 두 대응이 모두 규칙 $(x, y) \mapsto (-y, x)$와 일치하므로($(2,1) \mapsto (-1,2)$ ✓, $(4,0) \mapsto (0,4)$ ✓) 반시계 $90°$다.

수직이등분선 — 두 점에서 등거리인 자취 — 가 회전 중심을 낚는 그물이 됐다. 합동 단원의 자취 정리가 변환 단원에서 역산 도구로 재취업한 것이다.

The center is equidistant from each point and its image, so it is the intersection of the perpendicular bisectors of $\overline{AA'}$ and $\overline{BB'}$.

$\overline{AA'}$: midpoint $\left(\frac12, \frac32\right)$, slope $\dfrac{2-1}{-1-2} = -\dfrac13$ → bisector slope $3$: $y - \frac32 = 3\left(x - \frac12\right)$, i.e. $y = 3x$.

$\overline{BB'}$: midpoint $(2, 2)$, slope $-1$ → bisector $y = x$.

Intersection: $3x = x \Rightarrow x = 0$ — the origin.

The angle: both correspondences match the rule $(x, y) \mapsto (-y, x)$ ($(2,1) \mapsto (-1,2)$ ✓, $(4,0) \mapsto (0,4)$ ✓) — counterclockwise $90°$.

The perpendicular bisector — the equidistance locus — became the net that catches a rotation's center: the congruence unit's locus theorem, re-employed as a reverse-engineering tool.

반시계 $90°$ 회전 $(x, y) \mapsto (-y, x)$를 $\triangle_1$의 세 꼭짓점에 적용하면

— 정확히 $\triangle_2$의 세 꼭짓점이다. 회전은 강체 운동이므로, 재정의에 의해 두 삼각형은 합동이다.

변 셋을 재서 SSS로 보일 수도 있지만($4$, $\sqrt{10}$, $3\sqrt2$ 씩 일치), 강체 운동 하나를 제시하는 쪽이 "왜 합동인가"에 대한 더 직접적인 답이다 — 포개는 움직임 그 자체를 내놓았기 때문이다.

Apply $(x, y) \mapsto (-y, x)$ to $\triangle_1$'s vertices:

— exactly the vertices of $\triangle_2$. A rotation is rigid, so by the redefinition the triangles are congruent.

Measuring three sides for SSS also works ($4$, $\sqrt{10}$, $3\sqrt2$ each matching), but producing the rigid motion answers "why congruent" more directly — it hands over the superimposing movement itself.

임의의 점 $(x, y)$를 두 변환에 차례로 통과시켜라.

Push an arbitrary point $(x, y)$ through both transformations.

임의의 점 $(x, y)$를 통과시킨다:

한편 원점 중심 $180°$ 회전의 규칙도 $(x, y) \mapsto (-x, -y)$다. 모든 점에서 상이 일치하므로 두 변환은 같다. $\blacksquare$

주목할 것 둘. 첫째, 변환의 같음은 "모든 점에서 상이 같다"로 증명한다 — 임의의 $(x, y)$ 하나로 전 평면을 처리했다. 둘째, 반사 두 번이 회전 하나가 됐다 — 뒤집기를 짝수 번 하면 뒤집힘이 상쇄되고 돌기만 남는다. 두 거울선(두 축)이 이루는 각이 $90°$이고 회전각이 그 두 배인 $180°$라는 것은 우연이 아니다 — 다음다음 차시에서 일반 법칙("반사 두 번 $=$ 거울선 사잇각의 두 배 회전")으로 승격된다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 합성 계산 $(x,y) \to (-x,-y)$ (1점)
• $180°$ 회전 규칙과의 일치 (1점)
• "모든 점에서 일치 = 같은 변환" 논리 명시 (1점)

Push an arbitrary $(x, y)$ through:

The $180°$ rotation's rule is also $(x, y) \mapsto (-x, -y)$. The images agree at every point, so the transformations are equal. $\blacksquare$

Two things to notice. First, equality of transformations is proved by "same image at every point" — one arbitrary $(x, y)$ handled the entire plane. Second, two reflections became one rotation — an even number of flips cancels the flipping and leaves pure turning. That the mirrors (the axes) meet at $90°$ while the rotation is twice that, $180°$, is no accident — two lessons from now it becomes the general law ("two reflections $=$ rotation by twice the angle between the mirrors").

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The composition computation $(x,y) \to (-x,-y)$ (1 pt)
• Matching the $180°$ rule (1 pt)
• Stating the "equal at every point = equal transformations" logic (1 pt)

반사 최단 문제의 접기를 두 번 — $A$를 $x$축에, $B$를 $y$축에 접어라.

Fold twice — $A$ across the $x$-axis, $B$ across the $y$-axis.

$A$를 $x$축에 접은 $A'(3, -1)$과 $B$를 $y$축에 접은 $B'(-1, 4)$를 잡자. $x$축 위의 반사점 $P$, $y$축 위의 반사점 $Q$에 대해 반사는 거리를 보존하므로

— 우변은 $A'$에서 $B'$으로 가는 꺾인 길이고, 최단은 직선일 때다:

직선 $\overline{A'B'}$이 실제로 $x$축을 먼저($x = \frac{11}{5}$에서), $y$축을 다음($y = \frac{11}{4}$에서) 지나므로 등호가 달성된다.

한 번 접기(거리·중점 차시)의 두 번 접기 확장 — 반사가 늘수록 접는 횟수만 늘 뿐, "펴서 직선"이라는 원리는 그대로다. 당구의 투 쿠션 공략이 정확히 이 계산이다.

Fold $A$ across the $x$-axis to $A'(3, -1)$ and $B$ across the $y$-axis to $B'(-1, 4)$. For bounce points $P$ (on the $x$-axis) and $Q$ (on the $y$-axis), reflections preserve distance, so

— the right side is a bent path from $A'$ to $B'$, shortest when straight:

And the straight segment $\overline{A'B'}$ does cross the $x$-axis first (at $x = \frac{11}{5}$) and the $y$-axis second (at $y = \frac{11}{4}$), so equality is achieved.

The one-fold trick (distance-midpoint lesson), extended to two folds — more bounces only mean more folds; "unfold to a straight line" never changes. A two-cushion billiard shot is exactly this computation.

꼭짓점 하나 → 변 하나 → 나머지 꼭짓점 순서로 맞춰라. 각 단계에서 이미 맞춘 것이 깨지지 않는 이유를 말하라.

Match one vertex, then one side, then the last vertex — and say why each step preserves what was already matched.

1단계 — 밀기. $A$를 $A'$으로 보내는 평행이동을 적용한다. 이제 두 삼각형은 꼭짓점 하나($A'$)를 공유한다.

2단계 — 돌리기. $A'$을 중심으로, 변 $\overline{A'B}$(1단계 후의 상)가 $\overline{A'B'}$ 방향과 겹치도록 회전한다. $AB = A'B'$(가정)이고 회전은 거리를 보존하므로, $B$의 상은 방향도 거리도 맞아 정확히 $B'$에 떨어진다. 중심 $A'$은 회전에서 움직이지 않으므로 1단계의 성과는 유지된다.

3단계 — (필요하면) 뒤집기. 이제 $\overline{A'B'}$이 완전히 겹쳤다. 남은 꼭짓점 $C$의 상 $C''$은 $A'C'' = A'C'$, $B'C'' = B'C'$(SSS의 나머지 두 등식 $+$ 거리 보존)를 만족한다 — 두 원의 교점은 직선 $A'B'$의 양쪽에 하나씩, 최대 두 개뿐이므로 $C''$은 $C'$이거나 $C'$의 거울상이다. $C'' = C'$이면 끝났고, 반대쪽이면 직선 $A'B'$에 대한 반사를 한 번 적용한다 — 반사는 $A'$, $B'$을 고정하므로 앞의 성과가 깨지지 않고, $C''$은 $C'$으로 넘어간다.

세 단계 모두 강체 운동이고 강체 운동의 합성도 강체 운동이므로, $\triangle ABC$를 $\triangle A'B'C'$에 포개는 강체 운동이 존재한다. $\blacksquare$

SSS가 "포개짐을 보증한다"던 첫 합동 단원의 약속이, 포개는 움직임의 명시적 제작법으로 완성됐다 — 밀고, 돌리고, 필요하면 뒤집는다. 어떤 합동도 이 세 동작이면 충분하다는 것이 이 과정 전체의 마지막 열쇠다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 밀기·돌리기 두 단계와 "이미 맞춘 것 유지" 논거 (1점)
• $C''$의 위치가 두 곳뿐임(두 원의 교점) (1점)
• 반사로 마무리 $+$ 합성도 강체 운동 (1점)

Step 1 — slide. Apply the translation sending $A$ to $A'$. The triangles now share the vertex $A'$.

Step 2 — turn. Rotate about $A'$ until the image of side $\overline{A'B}$ points along $\overline{A'B'}$. Since $AB = A'B'$ (hypothesis) and rotations preserve distance, the image of $B$ matches in both direction and distance — it lands exactly on $B'$. The center $A'$ never moves under its own rotation, so Step 1's gain survives.

Step 3 — flip (if needed). With $\overline{A'B'}$ fully matched, the image $C''$ of the last vertex satisfies $A'C'' = A'C'$ and $B'C'' = B'C'$ (the remaining SSS equalities plus distance preservation). Two circles meet in at most two points — one on each side of line $A'B'$ — so $C''$ is either $C'$ or its mirror image. If $C'' = C'$, done; if not, reflect across line $A'B'$ — a reflection fixing $A'$ and $B'$, so nothing already matched breaks, and $C''$ crosses to $C'$.

All three steps are rigid motions, and compositions of rigid motions are rigid — so a rigid motion superimposing $\triangle ABC$ onto $\triangle A'B'C'$ exists. $\blacksquare$

The first congruence unit's promise — SSS "guarantees overlay" — is completed as an explicit recipe for the overlaying movement: slide, turn, flip if needed. That these three moves suffice for every congruence is this course's final key.

Rubric (any logically correct construction earns full credit)

• The slide and turn steps with the "preserves what's matched" reasoning (1 pt)
• Only two possible positions for $C''$ (two circles' intersections) (1 pt)
• The reflection finish, plus compositions staying rigid (1 pt)