기둥Prisms & Cylinders

겉넓이는 마주 보는 면이 쌍으로 같아 세 종류 $\times 2$다.

Opposite faces come in equal pairs — three kinds, each twice.

옆면 직사각형: 가로 $8\pi$(둘레), 세로 $7$ — 전개도로 확인하는 습관을 들일 것.

The side rectangle: width $8\pi$ (the perimeter), height $7$ — make checking against the net a habit.

밑넓이는 $\frac12 \times 6 \times 8 = 24$:

옆면 셋을 따로 계산할 필요 없다 — 펼치면 가로가 둘레인 직사각형 하나다.

The base area is $\frac12 \times 6 \times 8 = 24$:

No need to handle three side faces separately — unrolled, they are one rectangle whose width is the perimeter.

(1) $\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{49} = 7$ — 피타고라스 2연타(바닥 $\sqrt{13}$, 세워서 $\sqrt{13 + 36}$)를 한 식으로 합친 것이다.

(2) $\sqrt{25 + 25 + 25} = 5\sqrt3$.

정사각형 대각선의 $\sqrt2$, 정육면체 대각선의 $\sqrt3$ — 차원이 하나 오를 때마다 제곱 하나가 더 들어온다.

(1) $\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{49} = 7$ — the Pythagoras double play (floor $\sqrt{13}$, then $\sqrt{13 + 36}$) folded into one line.

(2) $\sqrt{25 + 25 + 25} = 5\sqrt3$.

The square's $\sqrt2$, the cube's $\sqrt3$ — each new dimension admits one more square under the root.

(1) 분할. 각기둥의 밑면(다각형)을 삼각형 조각들로 가른다. 각 조각 위에 선 가느다란 기둥의 부피는 (조각 넓이) $\times h$이고 — 삼각형 기둥은 직육면체의 절반으로 만들 수 있다 — 부피의 분할 가산으로 전체는 조각 넓이의 합 $\times h = Sh$다.

(2) 카발리에리. 비스듬한 기둥과 곧은 기둥이 밑넓이 $S$와 높이 $h$를 공유하면, 바닥과 평행한 어느 높이에서 잘라도 단면이 합동($S$)이다. 동전 더미를 밀어 기울여도 동전 하나하나는 그대로이듯, 모든 높이에서 단면이 같은 두 입체는 부피가 같다 — 비스듬해도 $V = Sh$.

넓이에서 부피로 올라와도 논증의 부품은 같다: 분할해서 더하고, 같음을 보존하는 조작으로 아는 도형에 잇는다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• 밑면 분할 → 가는 기둥 합 논증 (1점)
• 카발리에리 원리의 진술(모든 높이 단면 같음) (1점)
• 동전/기울임 비유 또는 동등한 근거로 빗기둥 결론 (1점)

(1) Dissection. Cut the polygonal base into triangular pieces. Each piece carries a slim prism of volume (piece's area) $\times h$ — a triangular prism is half a box — and by additivity of volume the total is the sum of piece areas $\times h = Sh$.

(2) Cavalieri. If an oblique prism and a right prism share base area $S$ and height $h$, then every cross-section parallel to the floor is congruent (area $S$) in both. As a pushed-over stack of coins keeps each coin intact, two solids with matching cross-sections at every height hold equal volumes — so the oblique prism also has $V = Sh$.

Climbing from area to volume, the argument's parts stay the same: dissect and add, then connect to a known solid by an operation that preserves equality.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• Base dissection → sum of slim prisms (1 pt)
• Stating Cavalieri's principle (equal cross-sections at every height) (1 pt)
• The coin-stack analogy or equivalent justification for the oblique case (1 pt)

옆면 직사각형은 가로가 둘레 $2\pi \times 3 = 6\pi$, 세로가 $h$ — 정사각형이려면

$\pi^2$이 나와도 놀랄 것 없다 — 반지름과 높이가 둘 다 $\pi$의 배수 관계면 부피에 $\pi$가 두 번 들어온다. 옆면이 정사각형인 캔은 눈으로 보면 의외로 길쭉하다($h = 6\pi \approx 18.8$ vs 지름 $6$).

The side rectangle has width $2\pi \times 3 = 6\pi$ and height $h$ — a square forces

A $\pi^2$ is no cause for alarm — when height and radius are tied through $\pi$, the volume collects two of them. A square-labeled can looks surprisingly tall in person ($h = 6\pi \approx 18.8$ against diameter $6$).

돌이 밀어낸 물의 부피가 곧 돌의 부피 — 올라간 물은 높이 $2$짜리 원기둥 층이다:

모양이 아무리 울퉁불퉁한 돌이라도 공식이 필요 없다 — 부피의 분할 가산이 "밀어낸 만큼"을 보증한다. 아르키메데스가 왕관의 부피를 잰 방법이 정확히 이것이다.

The displaced water's volume is the stone's volume — the risen water is a cylindrical layer of height $2$:

However lumpy the stone, no formula is needed — additivity of volume guarantees "exactly as much as was pushed aside." This is precisely how Archimedes measured the crown.

단면이 도넛(고리) — 바깥 원기둥에서 안쪽 원기둥을 뺀다:

넓이의 빼기 전략이 부피로 그대로 올라왔다 — 단면 넓이 $16\pi$에 길이를 곱하는 "기둥 공식"으로 읽어도 같다.

The cross-section is an annulus — outer cylinder minus inner:

The subtraction strategy climbs straight from area to volume — equivalently, read it as the prism formula on the ring's area $16\pi$ times the length.

같은 조각 두 개를 비스듬한 면끼리 붙이면 무엇이 되는가?

Glue two copies together along the slanted faces — what do you get?

같은 조각을 하나 더 복사해 $180°$ 돌려 비스듬한 단면끼리 맞붙이면, 높이가 $4 + 8 = 12$인 완전한 원기둥이 된다. 그러므로

"평균 높이" $\dfrac{4+8}{2} = 6$짜리 원기둥으로 읽어도 같다 — 잘린 면이 평면이고 밑면이 점대칭(원)이라 평균이 정확히 성립한다. 복사해 붙이는 수법은 삼각형·사다리꼴 넓이의 $180°$ 복사와 같은 혈통이다.

Copy the piece, rotate $180°$, and glue the slanted faces together: a complete cylinder of height $4 + 8 = 12$. Hence

Equivalently, a cylinder of "average height" $\dfrac{4+8}{2} = 6$ — exact because the cut is planar and the base point-symmetric (a circle). Copy-and-glue is the same bloodline as the $180°$ copy behind triangle and trapezoid areas.

위치가 면 수를 결정한다:

• 꼭짓점 조각($3$면): 정육면체의 꼭짓점 수 $= 8$
• 모서리 조각($2$면): 모서리 $12$개마다 가운데 $1$개 $= 12$
• 면 중앙 조각($1$면): 면 $6$개마다 $1$개 $= 6$
• 중심 조각($0$면): $1$

검산: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$ ✓. 세는 기준이 "조각"에서 "정육면체의 부위"로 바뀌는 순간 문제가 끝난다 — $n^3$ 큐브로 일반화하면 $8$, $12(n-2)$, $6(n-2)^2$, $(n-2)^3$이다.

Position determines paint:

• Corner pieces ($3$ faces): the cube's $8$ vertices
• Edge pieces ($2$ faces): one mid-piece per each of $12$ edges $= 12$
• Face-center pieces ($1$ face): one per each of $6$ faces $= 6$
• Center piece ($0$ faces): $1$

Check: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$ ✓. The problem ends the moment the counting unit shifts from "pieces" to "parts of the cube" — and generalizes to $n^3$: $8$, $12(n-2)$, $6(n-2)^2$, $(n-2)^3$.

둘레가 $c$, 높이가 $h$면 $V$를 $c$와 $h$로 나타내 보라.

With circumference $c$ and height $h$, express $V$ in terms of $c$ and $h$.

둘레 $c$, 높이 $h$로 말면 $r = \dfrac{c}{2\pi}$이므로

— 부피는 $c^2 h$에 비례한다. 둘레는 제곱으로, 높이는 일차로 들어가므로 긴 변을 둘레로 마는 쪽이 유리하다:

같은 종이인데 부피가 다르다 — 겉넓이(옆면)는 같아도 부피는 같지 않다는 사실의 가장 간단한 실물이다.

Rolling circumference $c$ with height $h$ gives $r = \dfrac{c}{2\pi}$, so

— volume is proportional to $c^2 h$. The circumference enters squared, the height only linearly, so the longer side belongs in the circumference:

Same paper, different volumes — the simplest physical proof that equal surface does not mean equal volume.

옆면을 펼치면 개미의 세계는 평면이 된다.

Unroll the side — the ant's world becomes a plane.

옆면을 펼치면 가로 $16$, 세로 $6$인 직사각형이고, "정반대쪽"은 가로로 반 바퀴 $= 8$만큼 떨어진 위치다. 펼친 평면에서 최단은 직선:

굽은 면 위의 최단 경로 문제는 거의 전부 이 한 수 — 펼쳐서 직선 긋기 — 로 끝난다. 컵 위에서 이 직선은 완만한 나선이 된다.

Unrolled, the side is a $16 \times 6$ rectangle, and "diametrically opposite" sits a half turn $= 8$ away horizontally. In the flat world the shortest path is a straight segment:

Nearly every shortest-path-on-a-surface problem ends with this one move — unroll, then draw the line. Back on the cup, the line winds into a gentle helix.

어느 두 면을 지나느냐에 따라 펼치는 방법이 세 가지다 — 전부 비교하라.

Three ways to unfold, depending on which two faces the path crosses — compare them all.

두 면을 지나는 경로를 펼치면 직사각형이 되고, 직선 거리는 이웃한 두 모서리의 합과 나머지 모서리로 만든 직각삼각형의 빗변이다. 세 가지 펼침을 전부 계산한다:

최단은 $\boxed{10}$ — 가장 짧은 두 모서리를 합쳐서 꺾이는 경로다.

세 후보를 다 봐야 하는 이유: 어느 조합이 최단인지는 치수에 따라 달라진다. (공간 대각선 $\sqrt{4 + 16 + 64} = \sqrt{84} \approx 9.17$은 더 짧지만 상자를 뚫고 가는 길이다 — 개미에게는 허락되지 않는다.)

A two-face path unfolds into a rectangle, whose straight-line length is the hypotenuse over "sum of two adjacent edges" and "the remaining edge." Compute all three unfoldings:

The shortest is $\boxed{10}$ — the path that bends across the two shortest edges combined.

All three candidates must be checked: which unfolding wins depends on the dimensions. (The space diagonal $\sqrt{4 + 16 + 64} = \sqrt{84} \approx 9.17$ is shorter still — but it tunnels through the box, a route no ant is granted.)