합동의 뜻What Congruence Means

순서를 나란히 놓으면 $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$. (1) 첫 자리끼리 — $\angle D$. (2) $DE$는 첫째–둘째 꼭짓점의 변이므로 $AB$와 대응한다: $DE = AB$.

Line up the orders: $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$. (1) First positions match — $\angle D$. (2) $DE$ joins the first and second vertices, so it corresponds to $AB$: $DE = AB$.

합동이면 대응변 세 쌍이 각각 같다: $AB = DE$, $BC = EF$, $CA = FD$. 세 등식을 변끼리 더하면(등식의 덧셈 성질)

— 왼쪽이 한 삼각형의 둘레, 오른쪽이 다른 삼각형의 둘레다.

Congruence gives three equal pairs of corresponding sides: $AB = DE$, $BC = EF$, $CA = FD$. Add the three equations side by side (addition property of equality):

— the left side is one perimeter, the right side the other.

대응은 $A \leftrightarrow P$, $B \leftrightarrow Q$, $C \leftrightarrow R$. $PQ$의 대응변은 $AB$이므로 $PQ = 7$. $\angle B$의 대응각은 $\angle Q$이므로 $\angle B = 40°$.

The correspondence is $A \leftrightarrow P$, $B \leftrightarrow Q$, $C \leftrightarrow R$. $PQ$ corresponds to $AB$, so $PQ = 7$. $\angle B$ corresponds to $\angle Q$, so $\angle B = 40°$.

앞은 $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$를, 뒤는 $A \leftrightarrow E$, $B \leftrightarrow D$를 선언한다 — 포개는 방법이 다르다. 이를테면 앞에서는 $AB = DE$가 나오지만 뒤에서는 $AB = ED$… 변으로는 같아 보여도 각을 보면 갈린다: 앞은 $\angle A = \angle D$, 뒤는 $\angle A = \angle E$. 꼭짓점 순서가 곧 정보다.

The first declares $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$; the second declares $A \leftrightarrow E$, $B \leftrightarrow D$ — different ways of fitting. The angles expose the difference immediately: the first gives $\angle A = \angle D$, the second $\angle A = \angle E$. Vertex order is information.

대응으로 $\angle A = \angle D = 48°$이고, $\angle E = \angle B = 73°$. 삼각형 $DEF$의 내각합에서

검산: $48 + 73 + 59 = 180$ ✓. ($\angle F$의 대응각 $\angle C$를 삼각형 $ABC$에서 구해도 같은 답이 나온다 — 두 길 검산이 된다.)

By correspondence, $\angle A = \angle D = 48°$ and $\angle E = \angle B = 73°$. The angle sum in triangle $DEF$ gives

Check: $48 + 73 + 59 = 180$ ✓. (Computing the correspondent $\angle C$ inside triangle $ABC$ gives the same value — a two-route check.)

$AB$와 $DE$는 대응변이므로 같다:

$AB = 3(5) + 2 = 17$. 검산: $DE = 5(5) - 8 = 17$ — 일치 ✓.

$AB$ and $DE$ are corresponding sides, hence equal:

$AB = 3(5) + 2 = 17$. Check: $DE = 5(5) - 8 = 17$ — agreed ✓.

대응은 $A \leftrightarrow C$, $B \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow A$.

(1) $AB$의 대응변은 첫째–둘째 자리인 $CD$: $AB = CD$. (같은 방식으로 $BC = DA$ — 마주 보는 두 쌍의 변이 각각 같다는 사실이 벌써 나왔다. 이 사각형이 평행사변형이라는 것과 이 합동이 왜 성립하는지는 사각형 단원의 큰 주제다.)

(2) $AC$의 대응변은 $CA$ — 자기 자신이다. 두 삼각형이 공유하는 변은 대응에서 스스로와 짝이 된다. 나중 증명들에서 "공통변"이 반사성으로 등장하는 이유다.

The correspondence is $A \leftrightarrow C$, $B \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow A$.

(1) The correspondent of $AB$ is the first-to-second side $CD$: $AB = CD$. (Likewise $BC = DA$ — both pairs of opposite sides equal, already. Why this congruence holds, and that this quadrilateral is a parallelogram, is a headline of the quadrilaterals unit.)

(2) The correspondent of $AC$ is $CA$ — itself. A shared side partners with itself under the correspondence, which is exactly why "the common side" enters later proofs through the reflexive property.

같은 둘레를 서로 다른 세 변으로 나눠 보라.

Split the same perimeter into different triples of sides.

거짓이다. 반례: 둘레가 $12$인 두 삼각형 — 변이 $4, 4, 4$인 정삼각형과 변이 $3, 4, 5$인 삼각형. ($3, 4, 5$는 $3 + 4 > 5$로 삼각형 부등식을 통과한다 ✓.) 두 삼각형은 둘레가 같지만 변의 길이 구성이 달라 포개질 수 없다.

둘레는 세 변을 합쳐 버린 정보라, 각 변이 얼마인지를 잃는다 — 요약된 수 하나가 도형 전체를 결정하지 못하는 것이다. 합동을 보장하려면 어떤 정보 묶음이면 충분한지가 다음 차시의 질문이다.

채점 기준. ① "거짓" 판정(1점) ② 둘레가 같고 구성이 다른 구체적 반례 제시 — 삼각형 부등식 확인 포함(1점) ③ 이유 서술(둘레는 변 정보를 잃는다 등)(1점).

False. Counterexample: two triangles of perimeter $12$ — the equilateral $4, 4, 4$ and the triangle $3, 4, 5$. (The triple $3, 4, 5$ passes the triangle inequality, $3 + 4 > 5$ ✓.) Equal perimeters, different side compositions — they cannot fit onto each other.

A perimeter has already merged the three sides into one number, losing what each side was. One summary number cannot pin down a whole figure. Which bundles of information do guarantee congruence is precisely next lesson's question.

Grading. ① The verdict "false" (1 pt) ② a concrete counterexample with equal perimeters and different side triples, triangle inequality checked (1 pt) ③ the reason stated (perimeter loses side information, or equivalent) (1 pt).

$DF$의 대응변은 $AC$이므로 $AC = 6$. 따라서 둘레는

주어진 세 수 중 하나는 상대 삼각형에서 빌려 왔다는 것 — 합동은 이렇게 정보를 삼각형 사이로 나른다.

The correspondent of $DF$ is $AC$, so $AC = 6$. Hence the perimeter is

One of the three numbers was borrowed from the other triangle — congruence ferries information between triangles exactly like this.

$\angle ADB$의 대응각은 어느 각인가 — 그리고 둘이 합쳐 무엇을 이루는가?

Which angle corresponds to $\angle ADB$ — and what do the two of them add up to?

대응 $A \leftrightarrow C$, $B \leftrightarrow B$, $D \leftrightarrow D$에서 $\angle ADB$의 대응각은 $\angle CDB$이므로 $\angle ADB = \angle CDB$. 그런데 두 각은 $\overline{DB}$를 사이에 두고 이웃하며 합쳐서 $\angle ADC$를 이룬다(각의 덧셈 공리):

합동이 "같다"를 내놓고 각의 덧셈이 "합"을 내놓으면 방정식이 풀어 준다 — 그리고 결과를 읽으면, $\overline{DB}$는 $\angle ADC$의 이등분선이다. 연을 대각선으로 접으면 접는 금이 꼭짓각을 반으로 가르는 그 장면이다.

From the correspondence $A \leftrightarrow C$, $B \leftrightarrow B$, $D \leftrightarrow D$, the correspondent of $\angle ADB$ is $\angle CDB$, so $\angle ADB = \angle CDB$. The two angles are adjacent along $\overline{DB}$ and together form $\angle ADC$ (Angle Addition Postulate):

Congruence supplies "equal," angle addition supplies "sum," and the equation does the rest. Read the result: $\overline{DB}$ bisects $\angle ADC$ — the crease of a folded kite splitting its vertex angle in half.

$\angle A$와 $\angle D$는 대응각이므로 같다:

$\angle E = \angle B = 65°$이므로 삼각형 $DEF$에서

검산: $\angle D = 3(30) - 20 = 70°$로 $\angle A$와 일치 ✓, $70 + 65 + 45 = 180$ ✓.

$\angle A$ and $\angle D$ correspond, hence are equal:

Since $\angle E = \angle B = 65°$, the angle sum in triangle $DEF$ gives

Check: $\angle D = 3(30) - 20 = 70°$, matching $\angle A$ ✓, and $70 + 65 + 45 = 180$ ✓.

재배열은 모두 $3! = 6$가지 — 각각이 요구하는 등식을 검사하라.

There are $3! = 6$ rearrangements — test the equations each one demands.

재배열 여섯 가지를 전수 검사한다. 선언이 참이려면 요구되는 대응변·대응각 등식이 실제로 성립해야 한다.

• $\triangle ABC \cong \triangle ABC$: 반사성 — 참.
• $\triangle ABC \cong \triangle ACB$: $B \leftrightarrow C$ 맞바꿈. 요구: $AB = AC$ ✓(가정), $\angle B = \angle C$ ✓(이등변의 두 밑각 — 다다음 차시에 증명하는 사실) — 참.
• 나머지 네 가지($BAC$, $BCA$, $CAB$, $CBA$ 순서)는 전부 $A$를 $B$나 $C$로 보낸다. 그러면 꼭지각 $\angle A$가 밑각과 같아야 하는데, 정삼각형이 아니므로 $\angle A \neq \angle B$ — 거짓.

답: $2$가지. 참인 선언의 개수는 도형의 대칭의 개수다 — 부등변은 $1$, (정삼 아닌) 이등변은 $2$, 정삼각형은 $6$가지 전부. 도형이 대칭적일수록 "자기 자신에 포개지는 방법"이 많아진다.

Check all six rearrangements. A declaration is true only if the side and angle equations it demands actually hold.

• $\triangle ABC \cong \triangle ABC$: reflexive — true.
• $\triangle ABC \cong \triangle ACB$: swaps $B \leftrightarrow C$. Demands $AB = AC$ ✓ (given) and $\angle B = \angle C$ ✓ (the isosceles base angles — proved two lessons from now) — true.
• The remaining four orders ($BAC$, $BCA$, $CAB$, $CBA$) all send $A$ to $B$ or $C$, forcing the apex angle $\angle A$ to equal a base angle. Not equilateral means $\angle A \neq \angle B$ — false.

Answer: $2$. The count of true declarations is the count of the figure's symmetries — $1$ for scalene, $2$ for (non-equilateral) isosceles, all $6$ for equilateral. The more symmetric the figure, the more ways it fits onto itself.

접기는 포개기다 — $\triangle ABD$와 $\triangle A'BD$의 관계부터.

A fold is a fitting — start with the relationship between $\triangle ABD$ and $\triangle A'BD$.

접기는 도형을 접는 금에 대해 그대로 포개는 동작이므로 $\triangle ABD \cong \triangle A'BD$. 대응각으로

직사각형의 각 $\angle ABC = 90°$에서 $\angle DBC = 90 - 32 = 58°$. $A'$은 $BD$보다 $C$ 쪽에 있으므로, 반직선 $BA'$은 $\angle DBC$의 내부를 지난다. 각의 덧셈 공리로

검산: $\angle ABA' = 32 + 32 = 64°$이고 $\angle ABA' + \angle A'BC = 64 + 26 = 90°$ ✓ — 직사각형의 직각이 복원된다. 종이접기 문제의 두 기둥: 접힌 짝은 합동, 그다음은 각의 덧셈.

Folding lays a figure exactly onto its image across the crease, so $\triangle ABD \cong \triangle A'BD$. Corresponding angles give

From the rectangle's right angle $\angle ABC = 90°$, we get $\angle DBC = 90 - 32 = 58°$. Since $A'$ lies on $C$'s side of $BD$, the ray $BA'$ passes through the interior of $\angle DBC$, and angle addition gives

Check: $\angle ABA' = 32 + 32 = 64°$, and $\angle ABA' + \angle A'BC = 64 + 26 = 90°$ ✓ — the rectangle's right angle reassembles. The two pillars of every paper-folding problem: folded partners are congruent, then angle addition.