다각형의 넓이Areas of Polygons

변 $6$은 계산에 들어가지 않는다 — 공식이 원하는 것은 기울어진 변이 아니라 수직인 높이다. ($h = 5 < 6$인 것도 자연스럽다: 높이는 기울어진 변보다 짧다.)

The side $6$ never enters — the formula wants the perpendicular height, not the slanted side. (And $h = 5 < 6$ is as it should be: heights are shorter than slanted sides.)

$180°$ 복사로 만든 평행사변형($70$)의 절반이다.

Half of the parallelogram ($70$) made by the $180°$ copy.

중점선으로 읽어도 같다: 중점선 $8$ 곱하기 높이 $4$ ✓.

Reading via the midsegment agrees: midsegment $8$ times height $4$ ✓.

(1) 수직 대각선 공식으로 $S = \dfrac{10 \times 12}{2} = 60$.

(2) 마름모의 대각선은 서로를 수직이등분하므로(사각형 단원), 변은 다리가 $5$, $6$인 직각삼각형의 빗변:

대각선 두 개가 넓이도 변도 전부 결정한다 — 마름모의 신원은 대각선에 있다.

(1) By the perpendicular-diagonal formula, $S = \dfrac{10 \times 12}{2} = 60$.

(2) The diagonals bisect each other at right angles (quadrilateral unit), so a side is the hypotenuse over legs $5$ and $6$:

Two diagonals determine both area and side — a rhombus's identity lives in its diagonals.

두 삼각형의 밑변을 각각 윗변과 아랫변으로 잡으면 높이는 공통이다.

Take the two parallel sides as the two bases — the height is shared.

사다리꼴 $ABCD$($\overline{AB} \parallel \overline{DC}$, $AB = a$, $DC = b$)를 대각선 $\overline{AC}$로 가르면 삼각형 두 개가 남는다:

• $\triangle ABC$: 밑변 $\overline{AB} = a$, 높이는 $C$에서 직선 $AB$까지 — 두 평행선 사이 거리 $h$.
• $\triangle ACD$: 밑변 $\overline{DC} = b$, 높이는 $A$에서 직선 $DC$까지 — 같은 $h$.

분할 가산(규칙 2)으로

$180°$ 복사(두 배)와 대각선 분할(반 나누기) — 서로 반대 방향의 조작이 같은 공식에 이른다. 두 평행선 사이 거리가 어디서나 같다는 사실(평행선 단원)이 "높이 공통"의 근거다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 대각선 분할과 두 삼각형의 밑변 지정 (1점)
• 높이가 공통($h$)임의 근거 (1점)
• 합산·정리 (1점)

Split trapezoid $ABCD$ ($\overline{AB} \parallel \overline{DC}$, $AB = a$, $DC = b$) along diagonal $\overline{AC}$:

• $\triangle ABC$: base $\overline{AB} = a$; its height is the distance from $C$ to line $AB$ — the distance $h$ between the parallels.
• $\triangle ACD$: base $\overline{DC} = b$; height from $A$ to line $DC$ — the same $h$.

By dissection additivity (Rule 2),

Doubling by a $180°$ copy, halving by a diagonal — opposite operations arriving at the same formula. That the distance between two parallels is everywhere equal (parallel lines unit) is what justifies "shared height."

Rubric (any logically correct derivation earns full credit)

• The diagonal split with both bases identified (1 pt)
• Justifying the shared height $h$ (1 pt)
• Adding and simplifying (1 pt)

중심 조각이 정삼각형이므로 변심거리는 한 변이 $6$인 정삼각형의 높이:

검산: 정삼각형 여섯 장 $= 6 \times \dfrac{\sqrt3}{4} \times 36 = 54\sqrt3$ ✓.

The central pieces are equilateral, so the apothem is the height of an equilateral triangle of side $6$:

Check: six equilateral triangles $= 6 \times \dfrac{\sqrt3}{4} \times 36 = 54\sqrt3$ ✓.

삼각형을 직사각형으로 둘러싸고, 바깥 조각들을 빼라.

Box the triangle in a rectangle and subtract the outside pieces.

세 점을 $7 \times 6$ 직사각형($x$: $0$~$7$, $y$: $0$~$6$)으로 둘러싸면, 삼각형 밖에 직각삼각형 세 개가 남는다:

기울어진 삼각형에 공식을 바로 댈 수 없을 때, 반듯한 상자에서 반듯한 조각들을 빼는 우회가 표준이다 — 분할 가산 규칙의 뺄셈 판이다.

Enclose the points in the $7 \times 6$ rectangle ($x$: $0$–$7$, $y$: $0$–$6$); three right triangles remain outside:

When no formula fits the tilted figure directly, the standard detour is a straight box minus straight pieces — dissection additivity, run in reverse.

(1) $\frac12 \times 8 \times h = 24$에서 $h = 6$.

(2) 같은 삼각형, 같은 넓이: $\frac12 \times 10 \times h' = 24$에서 $h' = 4.8$.

넓이는 하나인데 (밑변, 높이) 쌍은 변마다 하나씩 — "넓이를 두 방법으로"가 높이를 낚는 수법($h = \frac{2S}{b}$)이고, 직각삼각형 단원의 $h = \frac{ab}{c}$가 그 특수한 경우였다.

(1) From $\frac12 \times 8 \times h = 24$, $h = 6$.

(2) Same triangle, same area: $\frac12 \times 10 \times h' = 24$ gives $h' = 4.8$.

One area, but one (base, height) pair per side — "area two ways" is the height-fishing move ($h = \frac{2S}{b}$), and the right-triangle unit's $h = \frac{ab}{c}$ was its special case.

위·아래 조각은 닮음($k^2$), 옆 조각은 대각선의 분할 비(같은 높이)로.

Top and bottom pieces by similarity ($k^2$); side pieces by the diagonals' splitting ratio (shared height).

대각선 교점을 $P$라 하자. 위 삼각형(윗변 쪽)과 아래 삼각형은 나비꼴 AA 닮음이고 닮음비는 $4 : 8 = 1 : 2$ — 넓이비는 $k^2 = 1 : 4$. 또 교점은 대각선을 $1 : 2$로 가르므로, 옆 조각과 위 조각은 같은 높이에 밑변 비 $2 : 1$ — 옆 $=$ 위 $\times 2$.

위 조각을 $t$라 하면 네 조각은 $t$, $2t$, $2t$, $4t$이고

검산: 합 $27$ ✓, 위:아래 $= 3:12 = 1:4 = k^2$ ✓, 옆 두 조각이 같은 것($6 = 6$)은 두 대각선이 각각 사다리꼴을 같은 두 삼각형으로 가르기 때문이다.

Let $P$ be the diagonals' intersection. The top and bottom triangles are butterfly-AA similar with ratio $4 : 8 = 1 : 2$ — areas in ratio $k^2 = 1 : 4$. The intersection also splits each diagonal $1 : 2$, so a side piece and the top piece share a height with bases in ratio $2 : 1$ — side $=$ top $\times 2$.

With top $= t$, the pieces are $t$, $2t$, $2t$, $4t$:

Check: sum $27$ ✓; top : bottom $= 3 : 12 = 1 : 4 = k^2$ ✓; and the two side pieces matching ($6 = 6$) reflects each diagonal cutting the trapezoid into two triangles of equal combined ratio.

교점이 두 대각선을 가르는 네 조각에 이름을 붙이고, 직각삼각형 네 개의 합으로 써라.

Name the four pieces into which the intersection splits the diagonals, and sum four right triangles.

두 대각선의 교점을 $P$라 하고, $P$가 대각선 $d_1$을 $p$와 $q$로, $d_2$를 $r$와 $s$로 가른다고 하자($p + q = d_1$, $r + s = d_2$).

대각선이 수직이므로 사각형은 $P$를 직각 꼭짓점으로 하는 직각삼각형 네 개로 나뉜다. 분할 가산으로

분배법칙이 조각 네 개를 한 줄로 묶는다 — 마름모($p = q$, $r = s$)와 연꼴($r = s$만)은 이 일반 정리의 특수한 자리 배치일 뿐이다. 수직만 있으면 이등분은 필요 없다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — 직사각형 감싸기 포함)

• 네 조각 분할과 이름 붙이기 (1점)
• 직각삼각형 넓이 합 (1점)
• 인수분해로 결론 (1점)

Let $P$ be the diagonals' intersection, splitting $d_1$ into $p$ and $q$, and $d_2$ into $r$ and $s$ (so $p + q = d_1$, $r + s = d_2$).

Since the diagonals are perpendicular, the quadrilateral splits into four right triangles with their right angles at $P$. By dissection additivity,

The distributive law bundles four pieces into one line — the rhombus ($p = q$, $r = s$) and the kite ($r = s$ only) are just special seatings of this general theorem. Perpendicularity is all it needs; bisection is optional.

Rubric (any logically correct proof earns full credit — including the wrapping-rectangle argument)

• The four-piece split with names (1 pt)
• Summing the right triangles (1 pt)
• Factoring to conclude (1 pt)

$C$에서 $\overline{AB}$의 중점 $M$으로 가는 중선 위에서 $G$의 위치를 이용하라.

Use $G$'s position on the median from $C$ to the midpoint $M$ of $\overline{AB}$.

$\overline{AB}$의 중점을 $M$이라 하면 중선 $\overline{CM}$은 넓이를 이등분한다: $[\triangle CAM] = [\triangle CBM] = 18$.

$G$는 중선을 $CG : GM = 2 : 1$로 가르므로 $GM = \dfrac13 CM$. $\triangle GAM$과 $\triangle CAM$은 꼭짓점 $A$를 공유하고 밑변 $\overline{GM}$, $\overline{CM}$이 같은 직선 위에 있으므로 — 밑변 비 $=$ 넓이 비:

같은 논법을 세 꼭짓점에 돌리면 $[\triangle GAB] = [\triangle GBC] = [\triangle GCA] = 12$ — 무게중심은 삼각형을 넓이 같은 세 조각으로 가른다. "무게의 중심"이라는 이름이 넓이의 언어로도 성립하는 셈이다.

With $M$ the midpoint of $\overline{AB}$, the median $\overline{CM}$ bisects the area: $[\triangle CAM] = [\triangle CBM] = 18$.

$G$ splits the median $CG : GM = 2 : 1$, so $GM = \dfrac13 CM$. Triangles $GAM$ and $CAM$ share the vertex $A$ with bases $\overline{GM}$, $\overline{CM}$ on one line — base ratio $=$ area ratio:

Run the same argument at each vertex: $[\triangle GAB] = [\triangle GBC] = [\triangle GCA] = 12$ — the centroid cuts a triangle into three equal areas. The "center of mass" earns its name in the language of area too.

$6 \times 6$ 상자로 둘러싸고 바깥 조각 세 개를 빼라.

Box it in a $6 \times 6$ square and subtract three outside pieces.

오각형을 $6 \times 6$ 상자($x$: $0$~$6$, $y$: $0$~$6$)로 둘러싸면 바깥에 직각삼각형 세 개가 남는다:

검산 — 꼭짓점을 순서대로 도는 좌표 곱의 합(신발끈 계산)으로 $\frac12 \times 51 = 25.5$ ✓. 변이 몇 개가 되든 "상자 빼기"는 그대로 통한다 — 좌표기하 단원에서 이 절차가 공식의 이름을 얻는다.

Enclose the pentagon in the $6 \times 6$ box ($x$: $0$–$6$, $y$: $0$–$6$); three right triangles remain outside:

Check by summing coordinate products around the vertices (the shoelace computation): $\frac12 \times 51 = 25.5$ ✓. However many sides, box-and-subtract keeps working — the coordinate unit will give this procedure its formula name.

$\triangle ABC$와 $\triangle AB'C$를 비교하라 — 밑변이 같고 높이는 평행선이 보증한다.

Compare $\triangle ABC$ and $\triangle AB'C$ — same base, and the parallel line guarantees the height.

사각형을 대각선으로 가른다: $[ABCD] = [\triangle ACD] + [\triangle ABC]$.

$\triangle ABC$와 $\triangle AB'C$는 같은 밑변 $\overline{AC}$를 갖고, $B$와 $B'$이 $\overline{AC}$에 평행한 한 직선 위에 있으므로 높이도 같다 — 평행선 사이 거리는 어디서나 같다(평행선 단원). 따라서

이제 $\triangle DAB'$을 대각선 $\overline{AC}$로 갈라 조립하면($B'$은 직선 $DC$ 위이므로 $\triangle DAB' = \triangle ACD \cup \triangle ACB'$)

꼭짓점 $B$를 평행선을 따라 $B'$으로 미끄러뜨려도 넓이가 변하지 않는다(등적변형) — 이 한 수를 반복하면 오각형은 사각형으로, 사각형은 삼각형으로 줄어든다. 논밭의 굽은 경계를 곧게 펴면서 넓이를 지켜야 했던 측량사들의 실제 도구였다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 같은 밑변·평행선 높이로 $[\triangle ABC] = [\triangle AB'C]$ (1점)
• 사각형과 $\triangle DAB'$의 분할 대응 (1점)
• 등식 조립으로 결론 (1점)

Split the quadrilateral along the diagonal: $[ABCD] = [\triangle ACD] + [\triangle ABC]$.

Triangles $ABC$ and $AB'C$ share the base $\overline{AC}$, and since $B$, $B'$ lie on one line parallel to $\overline{AC}$, they have equal heights — the distance between parallels is everywhere the same (parallel lines unit). Hence

Now assemble $\triangle DAB'$ by cutting along $\overline{AC}$ (since $B'$ lies on line $DC$, we have $\triangle DAB' = \triangle ACD \cup \triangle ACB'$):

Sliding a vertex along a parallel line preserves area (shearing) — repeat the move and a pentagon shrinks to a quadrilateral, a quadrilateral to a triangle. This was the working tool of surveyors who had to straighten a field's crooked boundary without changing its area.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• $[\triangle ABC] = [\triangle AB'C]$ via same base and parallel height (1 pt)
• The matching decompositions of the quadrilateral and $\triangle DAB'$ (1 pt)
• Assembling the equalities (1 pt)