원의 넓이와 부채꼴Circles, Sectors & Segments

$\pi$는 그대로 남긴다 — $31.4$처럼 반올림한 순간 정확한 값이 아니게 된다.

Keep the $\pi$ — round it to $31.4$ and the value stops being exact.

$90°$는 원의 $\dfrac14$:

검산: $\frac12 r\ell = \frac12 \times 9 \times \frac{9\pi}{2} = \frac{81\pi}{4}$ ✓.

$90°$ is a quarter of the circle:

Check: $\frac12 r\ell = \frac12 \times 9 \times \frac{9\pi}{2} = \frac{81\pi}{4}$ ✓.

원 전체 둘레는 $12\pi$이므로 호의 비율은

호·넓이·중심각은 전부 같은 비율 하나로 묶여 있다 — 하나를 알면 셋을 안다.

The full circumference is $12\pi$, so the arc's share is

Arc, area, and central angle are chained to one shared ratio — know one, know all three.

검산 — 중심각으로: 호의 비율이 $\dfrac{6\pi}{16\pi} = \dfrac38$이므로 $\theta = 135°$, 넓이는 $64\pi \times \dfrac38 = 24\pi$ ✓.

$\frac12 r\ell$은 $\theta$를 묻지 않는다 — 호와 반지름만으로 끝나는 지름길이다.

Check via the angle: the arc's share is $\dfrac{6\pi}{16\pi} = \dfrac38$, so $\theta = 135°$ and the area is $64\pi \times \dfrac38 = 24\pi$ ✓.

$\frac12 r\ell$ never asks for $\theta$ — the shortcut that runs on arc and radius alone.

유도. 두 비례 공식에서 공통 비율 $\dfrac{\theta}{360°}$를 소거한다. $\ell = 2\pi r \times \dfrac{\theta}{360°}$에서 $\dfrac{\theta}{360°} = \dfrac{\ell}{2\pi r}$이므로

구조 비교. 정다각형은 중심에서 조각내면 "밑변 $=$ 각 변, 높이 $=$ 변심거리"인 삼각형들의 합이 되어 $\frac12 \times$ 둘레 $\times$ 변심거리였다. 부채꼴도 호를 아주 잘게 자르면 각 조각이 "밑변 $=$ 호 조각, 높이 $\approx r$"인 가는 삼각형과 같아서, 합치면 $\frac12 \times \ell \times r$ — 둘레 자리에 호가, 변심거리 자리에 반지름이 앉은 같은 공식이다. 원의 넓이 $\pi r^2 = \frac12 \times 2\pi r \times r$ 자체가 이 공식의 $\theta = 360°$ 판이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• 비율 소거로 $\frac12 r\ell$ 유도 (1점)
• 정다각형 공식의 구조(밑변·높이 조각) 재진술 (1점)
• 호 ↔ 둘레, 반지름 ↔ 변심거리 대응 지적 (1점)

Derivation. Eliminate the shared ratio $\dfrac{\theta}{360°}$. From $\ell = 2\pi r \times \dfrac{\theta}{360°}$ we get $\dfrac{\theta}{360°} = \dfrac{\ell}{2\pi r}$, so

The structural match. Sliced from its center, a regular polygon is a sum of triangles with "base $=$ each side, height $=$ apothem," giving $\frac12 \times$ perimeter $\times$ apothem. Slice a sector's arc finely and each piece is likewise a thin near-triangle with "base $=$ arc piece, height $\approx r$"; summed, $\frac12 \times \ell \times r$ — the same formula with the arc in the perimeter's seat and the radius in the apothem's. The circle's own $\pi r^2 = \frac12 \times 2\pi r \times r$ is just the $\theta = 360°$ edition.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• Deriving $\frac12 r\ell$ by eliminating the ratio (1 pt)
• Restating the polygon formula's structure (base-height pieces) (1 pt)
• The arc ↔ perimeter, radius ↔ apothem correspondence (1 pt)

부채꼴에서 삼각형을 뺀다:

(두 반지름과 끼인각 $60°$ — 사실 정삼각형이므로 $\frac{\sqrt3}{4} \times 36 = 9\sqrt3$으로도 같다).

양수인지 어림으로 확인하는 것까지가 풀이다 — 활꼴은 부채꼴보다 작아야 한다.

Sector minus triangle:

(two radii with included $60°$ — in fact equilateral, so $\frac{\sqrt3}{4} \times 36 = 9\sqrt3$ agrees).

The estimate is part of the solution — a segment must come out smaller than its sector.

내접원의 지름은 정사각형의 한 변과 같으므로 $r = 5$:

네 귀퉁이 조각의 합이다 — 전체에서 빼는 전략이 곡선 도형에서도 그대로 통한다. (한 귀퉁이는 그 $\frac14$인 $25 - \frac{25\pi}{4}$.)

The inscribed circle's diameter equals the side, so $r = 5$:

That is the four corner pieces together — whole-minus-part works on curved figures too. (One corner is a quarter of it: $25 - \frac{25\pi}{4}$.)

둘레는 도형을 한 바퀴 도는 길이 — 호와 지름 둘 다 걷는다:

$6\pi$만 적으면 반원이 아니라 "열린 호"의 길이다 — 곧은 변을 빠뜨리는 것이 이 단원 최다 실수임을 기억할 것.

Perimeter means one full trip around — walk the arc and the diameter both:

Writing $6\pi$ alone measures an open arc, not a semicircle — the unit's most common slip is dropping the straight edge.

현과 접선 차시의 그 구도 — 반현·안쪽 반지름·바깥 반지름의 직각삼각형.

The chords-and-tangents setup — a right triangle on half-chord, inner radius, outer radius.

바깥 반지름을 $R$, 안쪽을 $r$라 하자. 접점에 그은 안쪽 반지름은 현과 수직이고 현을 이등분하므로(원 단원), 반현 $6$에 대해

$R$와 $r$를 각각 알 필요가 전혀 없다 — 고리의 넓이는 접하는 현의 반쪽만이 결정한다. 두 반지름이 어떻게 변해도 현이 $12$이기만 하면 넓이는 $36\pi$로 고정된다.

Let the radii be $R$ (outer) and $r$ (inner). The inner radius to the tangency point is perpendicular to the chord and bisects it (circle unit), so with half-chord $6$,

Neither radius is ever needed — the ring's area is determined by the half-chord alone. Grow or shrink both circles as you like: as long as the tangent chord is $12$, the area stays $36\pi$.

줄이 헛간 모서리에 걸리면 반지름이 짧아진 새 부채꼴이 시작된다.

When the rope catches on a corner, a new sector begins with a shorter radius.

묶인 모서리를 중심으로 헛간 바깥쪽 $270°$($\frac34$ 원)를 반지름 $6$으로 돈다:

줄이 이웃한 두 모서리에 걸리면, 남은 줄 $6 - 4 = 2$로 각 모서리에서 $90°$($\frac14$ 원)씩 더 돈다:

남은 줄 $2$가 헛간 변 $4$보다 짧으므로 다음 모서리까지는 닿지 않는다 — 감기는 조건의 확인까지가 풀이다. 부채꼴이 "반지름이 줄어들며 이어 붙는" 전형적인 실전 구도다.

Around the tie-corner the goat sweeps $270°$ (three quarters) of radius $6$ outside the barn:

Past each adjacent corner, the leftover rope $6 - 4 = 2$ sweeps another $90°$ (a quarter circle) on each side:

The leftover $2$ is shorter than the barn's side $4$, so the rope never reaches a third corner — checking that wrap condition is part of the solution. A classic field setup: sectors chaining on with shrinking radii.

반원 두 개를 합치면 완전한 원 하나 — 반지름의 차이만 남는다.

The two semicircles combine into one full circle — only the radius difference survives.

직선 구간은 두 레인이 같으므로 차이는 곡선에서만 난다. 곡선 두 반원을 합치면 각 레인은 완전한 원 한 바퀴 — 안쪽 반지름을 $r$라 하면 바깥은 $r + 1.2$:

$r$가 소거된다 — 트랙이 크든 작든, 지구 적도든 운동장이든, 레인 폭이 $1.2\,\text{m}$면 차이는 항상 $2.4\pi\,\text{m}$다. $400\,\text{m}$ 경주의 출발선이 레인마다 앞으로 밀려 있는 이유가 정확히 이 값이다.

The straightaways match, so the difference lives entirely in the curves. The two semicircles combine into one full circle per lane — inner radius $r$, outer $r + 1.2$:

The $r$ cancels — big track or small, the Earth's equator or a schoolyard, a $1.2\,\text{m}$ lane always costs $2.4\pi\,\text{m}$. This exact value is why the start lines of a $400\,\text{m}$ race are staggered forward lane by lane.

포함–배제: 두 사분원의 합에서 정사각형을 넘치는 만큼이 겹침이다.

Inclusion–exclusion: the overlap is what the two quarter circles' sum exceeds the square by.

두 사분원은 각각 넓이 $\dfrac14 \times 16\pi = 4\pi$이고, 둘이 함께 정사각형($16$)을 정확히 덮는다 — 사분원 하나가 못 덮는 구석을 다른 사분원이 덮기 때문이다. 포함–배제로

(합집합이 정사각형 전체인 이유: 정사각형 안의 임의의 점은 두 중심 중 가까운 쪽에서 거리 $4$ 이내다 — 대각선 위 두 꼭짓점에서 가장 먼 내부 점도 거리가 $4$를 넘지 않는다.)

곡선 영역의 넓이를 "더하고 빼기"만으로 — 공식 없는 도형은 공식 있는 도형들의 대수로 잡는다.

Each quarter circle has area $\dfrac14 \times 16\pi = 4\pi$, and together they cover the square exactly — each corner one misses, the other reaches. By inclusion–exclusion,

(Why the union is the whole square: any point inside is within $4$ of the nearer of the two opposite centers — even the interior point farthest from both stays within reach.)

A curved region measured by adding and subtracting alone — figures without formulas are captured by the algebra of figures with them.

$AC = 2r_1$, $CB = 2r_2$로 놓고 아르벨로스를 계산한 뒤, $CD$는 수선 분할(또는 두 현 정리)로 구하라.

Set $AC = 2r_1$, $CB = 2r_2$, compute the arbelos, then find $CD$ by the altitude split (or the two-chord theorem).

$AC = 2r_1$, $CB = 2r_2$라 하면 큰 반원의 반지름은 $r_1 + r_2$다.

아르벨로스의 넓이. 반원 넓이 $\frac12 \pi(\text{반지름})^2$으로

$CD$의 길이. $D$는 지름 $\overline{AB}$ 위의 반원 위에 있으므로 탈레스에 의해 $\angle ADB = 90°$ — $\overline{CD}$는 직각삼각형 $ADB$의 빗변 위 수선이다. 수선 분할 정리로

지름 $CD$인 원의 넓이. 반지름이 $\dfrac{CD}{2}$이므로

반원 세 개가 만든 곡선 영역이, 수선 하나가 만든 원과 정확히 같은 넓이다 — 아르키메데스가 "구두장이의 칼"(아르벨로스)이라 부르며 아낀 보석이고, 곱셈 공식($(r_1+r_2)^2$ 전개)과 수선 분할($h^2 = pq$)이 $\pi$ 아래에서 만나는 지점이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 아르벨로스 $= \pi r_1 r_2$ 계산 (1점)
• 탈레스 $+$ 수선 분할(또는 두 현 정리)로 $CD^2 = 4r_1r_2$ (1점)
• 두 넓이의 일치 결론 (1점)

Let $AC = 2r_1$ and $CB = 2r_2$, so the large semicircle has radius $r_1 + r_2$.

The arbelos's area. Using semicircle area $\frac12 \pi(\text{radius})^2$:

The length $CD$. $D$ lies on the semicircle over diameter $\overline{AB}$, so by Thales $\angle ADB = 90°$ — making $\overline{CD}$ the altitude to the hypotenuse in right triangle $ADB$. The altitude split gives

The circle on diameter $CD$. Its radius is $\dfrac{CD}{2}$, so its area is

A curved region built from three semicircles matches, exactly, the circle built from one altitude — the gem Archimedes prized as the "shoemaker's knife" (arbelos), where the product formula (expanding $(r_1+r_2)^2$) and the altitude split ($h^2 = pq$) meet beneath a $\pi$.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Arbelos $= \pi r_1 r_2$ (1 pt)
• $CD^2 = 4r_1r_2$ via Thales $+$ altitude split (or two chords) (1 pt)
• Concluding the areas match (1 pt)