정의·공리·정리Definitions, Postulates & Theorems

GeometryGeometry · 1. 논증의 기초1. Reasoning & Proof

학습 목표

정의를 반례로 검사하고(너무 넓은가, 너무 좁은가), 정의가 양방향으로 읽힌다는 것을 활용할 수 있다.
명제를 가정과 결론으로 나누고, 역·이·대우를 만들 수 있다.
반례 하나로 명제가 무너짐을 알고, 명제와 대우가 참·거짓을 같이함을 안다.
공리와 정리의 차이를 설명할 수 있다.

낱말의 울타리

지난 차시에 무정의 용어 셋을 놓고 그 위에 정의를 몇 개 세웠다 — 선분, 반직선, 중점. 이번에는 그 문장들 자체를 다루는 기술이다. 논증이라는 게임에서 정의는 울타리와 같다. 들어와야 할 것을 하나도 빠뜨리지 않고, 들어오면 안 되는 것을 하나도 들이지 않아야 제 몫을 하는 울타리다.

그래서 정의를 검사하는 방법은 둘뿐이다. 너무 좁은가 — 마땅히 안에 있어야 할 대상이 밖에 있는가. 너무 넓은가 — 엉뚱한 것이 안에 들어와 있는가. 둘 다 반례 사냥이다.

반례 사냥 실습: 중점의 두 조건

지난 차시의 중점 정의를 줄여 써 보자: " $\overline{AB}$ 의 중점이란 $A$ , $B$ 에서 같은 거리에 있는 점이다." 그럴듯하게 들리지만, 이 울타리는 너무 넓다.

PA = PB인 점 P — 같은 거리이지만 중점은 아니다.

선분 밖의 점 $P$ 가 $PA = PB$ 를 만족하며 태연히 울타리 안에 들어와 있다. 이런 점은 얼마든지 있다(그림의 $P$ 를 위아래로 옮겨 보라 — $A$ , $B$ 에서 같은 거리인 점이 줄줄이 나온다). 그래서 진짜 정의에는 " $\overline{AB}$ 위에 있고"라는 조건이 함께 있었던 것이다. 정의의 조건은 장식이 아니다 — 한 조건을 지우면 어떤 침입자가 들어오는지를 물으면, 각 조건이 하는 일이 보인다.

정의는 양방향으로 읽는다

정의는 이름과 조건의 완전한 맞교환이다. " $M$ 이 $\overline{AB}$ 의 중점이다"와 " $M$ 이 $\overline{AB}$ 위에 있고 $AM = MB$ 다"는 어느 쪽에서 어느 쪽으로도 갈 수 있는 한 문장의 두 표현이다. 그래서 정의는 두 방향 모두로 근거가 된다 — 중점임을 알면 $AM = MB$ 를 꺼내 쓰고, $AM = MB$ (와 위에 있음)를 보이면 중점이라 불러도 된다.

앞으로 만날 정리들은 다르다. "두 각이 맞꼭지각이면 크기가 같다"는 일단 한 방향의 주장일 뿐, 거꾸로도 참인지는 별도의 문제다. 거꾸로도 참이라고 증명되면 그 정리는 판정 도구로 승격된다 — 삼각형의 합동 조건, 평행선의 판정이 전부 이 구조로 온다. 방향을 의식하는 습관을 여기서 들이는 이유다.

정의에도 설계가 있다

이등변삼각형을 정의해 보자. "정확히 두 변이 같은 삼각형"으로 할 수도 있고, "적어도 두 변이 같은 삼각형"으로 할 수도 있다. 울타리로서는 둘 다 결격이 없다 — 서로 다른 울타리일 뿐이다. 갈리는 건 정삼각형의 처지다: 앞 정의에서는 이등변이 아니고, 뒤 정의에서는 이등변의 특수한 경우다.

수학은 대개 뒤쪽, 포함하는 정의를 고른다. 이유는 실용적이다 — 이등변삼각형에 대해 증명한 정리를 정삼각형이 공짜로 물려받게 하기 위해서다. 정사각형을 직사각형의 특수한 경우로 삼는 것도 같은 설계다: 직사각형의 정리 전부가 정사각형에 자동 적용된다. 이 과정에서도 "적어도" 쪽을 쓴다. (다만 도형을 겹치지 않게 분류해 세는 문맥에서는 "정확히"로 가르기도 한다 — 어느 약속을 쓰는지 밝히면 둘 다 정당하다.)

정의는 자연에서 발견하는 것이 아니라 설계하는 것이고, 좋은 설계의 기준은 하나다 — 정리가 매끄럽게 흐르는가.

명제: 가정과 결론

기하의 정리는 거의 언제나 "~이면 ~이다" 꼴로 서 있다. 앞부분이 가정(출발점으로 주어지는 것), 뒷부분이 결론(따라 나온다고 주장하는 것)이다.

일상 문장에는 이 꼴이 숨어 있는 경우가 많아서, 펼치는 연습이 필요하다. "맞꼭지각은 크기가 같다"는 "두 각이 맞꼭지각이면 그 두 각은 크기가 같다"의 압축이다. 가정과 결론을 정확히 갈라내는 것은 증명의 첫 동작이다 — 가정은 공짜로 쓸 수 있는 재료 목록이고, 결론은 도착해야 할 주소다.

예제 1 · 숨은 조건문 펼치기

다음 문장을 "~이면 ~이다" 꼴로 고치고 가정과 결론을 말하여라.

(1) 정삼각형의 세 내각은 크기가 같다. (2) $6$ 의 배수는 짝수다.

풀이. (1) "삼각형이 정삼각형이면, 세 내각의 크기가 같다." 가정: 삼각형이 정삼각형이다. 결론: 세 내각의 크기가 같다.

(2) " $n$ 이 $6$ 의 배수이면, $n$ 은 짝수다." 가정: $n$ 이 $6$ 의 배수다. 결론: $n$ 은 짝수다.

역: 뒤집으면 남남

명제의 가정과 결론을 맞바꾼 것이 역이다. 여기서 가장 중요한 사실 — 명제가 참이라고 역까지 참인 것은 아니다. 둘은 남남이고, 각자 따로 재판을 받는다.

"정사각형이면 직사각형이다"는 참이다. 역 "직사각형이면 정사각형이다"는? 가로 $2$ , 세로 $1$ 짜리 직사각형 하나로 무너진다. 그림 한 장이 상황을 정리해 준다:

안쪽 영역이 정사각형, 바깥 영역이 직사각형 — 고리 부분의 점이 역의 반례다.

정사각형의 영역은 직사각형의 영역 안에 통째로 들어 있다(명제가 참인 이유). 그러나 바깥 고리에도 점이 있다 — 정사각형이 아닌 직사각형들(역이 거짓인 이유). 명제의 참은 "안쪽 → 바깥쪽"이고 역의 참은 "바깥쪽 → 안쪽"이니, 애초에 다른 주장이다.

여기서 논증의 문법 하나가 다시 확인된다. 거짓임을 보이는 데는 반례 하나면 충분하다. 참임을 보이려면 모든 경우를 감당하는 논증이 필요하다. 수의 세계에서 연산의 성질을 따질 때 쓰던 원칙 그대로다 — 이제 이 원칙이 모든 명제에 적용된다.

예제 2 · 역 만들고 재판하기

명제 "두 각이 맞꼭지각이면 크기가 같다"의 역을 쓰고, 참인지 판정하여라.

풀이. 역: "두 각의 크기가 같으면 그 두 각은 맞꼭지각이다." 거짓이다 — 반례: 서로 멀리 떨어진 곳에 $50°$ 짜리 각을 두 개 그리면, 크기는 같지만 맞꼭지각이 아니다. 명제는 참, 역은 거짓 — 한 쌍의 운명이 갈리는 표준적인 장면이다.

이와 대우

가정과 결론을 각각 부정한 것이 이, 뒤집고 부정까지 한 것이 대우다. 한 명제에서 네 문장이 나온다. " $n$ 이 $4$ 의 배수이면 짝수다"로 표를 채워 보자:

이름	문장	참/거짓
명제	$4$ 의 배수이면 짝수다	참
역	짝수이면 $4$ 의 배수다	거짓 — 반례 $6$
이	$4$ 의 배수가 아니면 짝수가 아니다	거짓 — 반례 $6$
대우	짝수가 아니면 $4$ 의 배수가 아니다	참

두 가지가 눈에 띈다. 첫째, 명제와 대우는 운명을 같이한다. 명제가 참인 세계에서 "짝수가 아닌" 수를 만났다고 하자. 이 수가 $4$ 의 배수일 수 있을까? 없다 — $4$ 의 배수였다면 명제에 의해 짝수였을 테니까. 그게 대우가 말하는 전부다. 대우는 같은 지식을 뒤집어 입은 옷이라, 참·거짓이 언제나 명제와 일치한다.

둘째, 역과 이가 같은 반례 $6$ 을 공유했다. 우연이 아니다 — 이는 역의 대우다(역의 가정·결론을 각각 부정해 뒤집어 보라). 그러니 역과 이도 운명 공동체다. 네 문장은 결국 두 진영이다: {명제, 대우} 대 {역, 이}.

대우는 단순한 말장난이 아니라 무기가 된다 — 명제를 직접 증명하기 어려울 때 대우를 대신 증명해도 똑같이 인정되기 때문이다. 이 기술(간접 증명)은 뒤에서 제대로 쓴다.

공리와 정리

증명은 모든 주장에 근거를 다는 일이다. 그런데 근거에도 근거를 물을 수 있다 — 그 근거의 근거는? 이 후퇴는 어딘가에서 멈춰야 하고, 멈추기로 약속한 지점이 공리다: 증명 없이 출발점으로 받아들이는 문장. "두 점을 지나는 직선은 하나뿐", "부분의 합은 전체( $AB + BC = AC$ )"가 이미 우리 목록에 있다. 공리 위에 증명으로 쌓아 올린 문장이 정리다. 지난 차시의 "서로 다른 두 직선은 많아야 한 점에서 만난다"가 우리의 첫 정리였던 셈이다 — 공리에서 증명해 냈으니까.

이 구조를 처음 세운 책이 기원전 $300$ 년 무렵 유클리드의 『원론』이다. 공리 몇 개를 앞에 놓고 수백 개의 정리를 차례로 증명해 낸 이 책은 이천 년 넘게 논증이란 무엇인가의 표준 답안 노릇을 했고, 지금 우리가 하는 공부도 그 설계를 현대식으로 손질한 것이다.

참고

공리 목록은 교과서마다 조금씩 다르다 — 어떤 책은 우리가 정리로 증명할 것을 공리로 얹기도 한다. 출발점의 선택에는 자유가 있고, 어느 출발점을 골랐는지 밝히는 한 결과로 나오는 기하는 같다. 중요한 것은 목록이 아니라 규율이다: 무엇을 공짜로 쓰고 무엇을 증명해서 쓰는지, 언제나 구분되어 있을 것.

Goals

Put definitions on trial with counterexamples (too wide? too narrow?) and use the fact that a definition reads in both directions.
Split a statement into hypothesis and conclusion, and form its converse, inverse, and contrapositive.
Know that one counterexample sinks a statement, and that a statement and its contrapositive share the same fate.
Explain the difference between a postulate and a theorem.

Words as fences

Last lesson set down three undefined terms and built a few definitions on top — segment, ray, midpoint. This lesson is about handling such sentences themselves. In the game of deduction, a definition is a fence. It earns its keep only if it lets in everything that belongs and keeps out everything that doesn't.

So there are exactly two ways a definition can fail. Too narrow — something that belongs is stranded outside. Too wide — an impostor slips in. Testing for either is the same activity: counterexample hunting.

A hunt in practice: the midpoint's two conditions

Take last lesson's midpoint definition and trim it: "the midpoint of $\overline{AB}$ is a point at equal distances from $A$ and $B$ ." Sounds fine — and the fence is too wide.

A point P with PA = PB — equal distances, yet no midpoint.

The point $P$ , sitting off the segment with $PA = PB$ , strolls right in. There are endless points like it (slide $P$ up or down in the picture — equal-distance points keep coming). That is why the real definition also demanded "on $\overline{AB}$ ." The conditions in a definition are not decoration. Ask what impostor enters when a condition is deleted, and you see exactly what work that condition does.

A definition reads both ways

A definition is a complete exchange between a name and a condition. " $M$ is the midpoint of $\overline{AB}$ " and " $M$ lies on $\overline{AB}$ with $AM = MB$ " are two wordings of one sentence, and you may travel in either direction. That makes a definition usable as a reason both ways — knowing $M$ is a midpoint, you may write $AM = MB$ ; showing $AM = MB$ (and on the segment), you may call $M$ the midpoint.

The theorems ahead are different. "If two angles are vertical angles, they are equal" is, on its own, a one-way claim; whether the reverse holds is a separate question. When the reverse is proved, the theorem gets promoted into a test — the triangle congruence criteria and the tests for parallel lines all arrive in exactly this way. That is why the habit of watching direction starts now.

Definitions are designed

Let's define an isosceles triangle. It could be "a triangle with exactly two equal sides," or "a triangle with at least two equal sides." As fences, both are sound — they are simply different fences. What changes is the fate of the equilateral triangle: under the first it is not isosceles; under the second it is a special case.

Mathematics usually picks the second, the inclusive definition, for a practical reason — so that every theorem proved about isosceles triangles is inherited free of charge by equilateral ones. Making the square a special case of the rectangle is the same design decision: every rectangle theorem applies to squares automatically. This course uses "at least." (In contexts where figures are sorted into non-overlapping bins for counting, the "exactly" convention appears too — either is legitimate once you say which one you're using.)

A definition is not discovered in nature; it is designed. And there is one standard for good design — do the theorems flow smoothly?

Statements: hypothesis and conclusion

Geometry's theorems almost always stand in the form "if … then …." The front part is the hypothesis (what is handed to you), the back part the conclusion (what is claimed to follow).

Everyday sentences often hide this form, so unfolding takes practice. "Vertical angles are equal" is shorthand for "if two angles are vertical angles, then they are equal." Splitting hypothesis from conclusion cleanly is the first move of any proof — the hypothesis is your list of free materials, and the conclusion is the address you must reach.

Example 1 · Unfolding hidden conditionals

Rewrite each statement in if-then form and name the hypothesis and conclusion.

(1) The three angles of an equilateral triangle are equal. (2) Multiples of $6$ are even.

Solution. (1) "If a triangle is equilateral, then its three angles are equal." Hypothesis: the triangle is equilateral. Conclusion: its three angles are equal.

(2) "If $n$ is a multiple of $6$ , then $n$ is even." Hypothesis: $n$ is a multiple of $6$ . Conclusion: $n$ is even.

The converse: flip it, and all bets are off

Swap a statement's hypothesis and conclusion and you get its converse. Now the single most important fact here — a true statement does not make its converse true. The two are strangers, tried in separate courts.

"If a figure is a square, it is a rectangle" — true. Its converse, "if a figure is a rectangle, it is a square"? One $2 \times 1$ rectangle demolishes it. A picture organizes the situation:

Inner region: squares. Outer region: rectangles. Any point in the ring refutes the converse.

The squares' region sits entirely inside the rectangles' region (that is the statement being true). But the ring holds points too — rectangles that are not squares (that is the converse being false). The statement claims "inner → outer"; the converse claims "outer → inner." They were never the same claim.

And here a rule of grammar for all reasoning gets reconfirmed: one counterexample suffices to show falsehood; showing truth takes an argument that carries every case. It is the very principle we used on properties of operations back in the world of numbers — now applied to statements of every kind.

Example 2 · Build the converse, then try it in court

Write the converse of "if two angles are vertical angles, then they are equal," and decide whether it is true.

Solution. Converse: "if two angles are equal, then they are vertical angles." False — counterexample: draw two $50°$ angles in distant corners of the page. Equal in measure, not vertical angles. Statement true, converse false — the standard scene of a pair's fates diverging.

The inverse and the contrapositive

Negate both parts of a statement and you get its inverse; flip and negate and you get its contrapositive. One statement spawns four. Fill in the table for "if $n$ is a multiple of $4$ , then $n$ is even":

Name	Statement	True/false
Statement	if a multiple of $4$ , then even	true
Converse	if even, then a multiple of $4$	false — counterexample $6$
Inverse	if not a multiple of $4$ , then not even	false — counterexample $6$
Contrapositive	if not even, then not a multiple of $4$	true

Two things stand out. First, a statement and its contrapositive share one fate. Suppose the statement is true and you meet a number that is not even. Could it be a multiple of $4$ ? No — if it were, the statement would force it to be even. That is all the contrapositive says. It is the same knowledge worn inside-out, so its truth value always matches the statement's.

Second, the converse and the inverse shared the counterexample $6$ . No accident — the inverse is the contrapositive of the converse (negate and flip the converse's parts and check). So those two are fate-sharers as well. The four sentences form two camps: {statement, contrapositive} versus {converse, inverse}.

The contrapositive is no word game; it is a weapon. When a statement resists direct proof, proving its contrapositive counts just the same. That technique — indirect proof — gets real use later in the course.

Postulates and theorems

Proof means attaching a reason to every claim. But reasons can be questioned in turn — what is the reason for the reason? The regress has to stop somewhere, and the agreed stopping points are the postulates: sentences accepted without proof as starting positions. "Two points determine exactly one line" and "the parts sum to the whole ( $AB + BC = AC$ )" are already on our list. A sentence built on the postulates by proof is a theorem. Last lesson's "two different lines meet in at most one point" was, in fact, our first theorem — we proved it from a postulate.

The book that first built this structure is Euclid's Elements, from around $300$ BC. Starting from a handful of postulates, it proves hundreds of theorems in sequence, and for more than two thousand years it has served as the standard answer to the question "what does it mean to argue?" The course you are in is that design, modernized.

Note

Postulate lists differ from book to book — some books take as a postulate what we will prove as a theorem. There is freedom in choosing starting points, and any honest choice produces the same geometry. What matters is not the list but the discipline: at every moment, know what you are using for free and what you have proved.

몸풀기Warm-up

배운 것을 그대로 손에 익히는 단계straightforward practice to get moving

문제Problem 1 몸풀기Warm-up

명제 "이등변삼각형의 두 밑각은 크기가 같다"를 "~이면 ~이다" 꼴로 고치고, 가정과 결론을 말하여라.

Rewrite the statement "the base angles of an isosceles triangle are equal" in if-then form, and name the hypothesis and the conclusion.

정답과 풀이Answer & solution

정답 · "삼각형이 이등변삼각형이면, 두 밑각의 크기가 같다" — 가정: 삼각형이 이등변삼각형이다 / 결론: 두 밑각의 크기가 같다

Answer · "If a triangle is isosceles, then its base angles are equal" — hypothesis: the triangle is isosceles / conclusion: its base angles are equal

숨은 조건문을 펼치면 "삼각형이 이등변삼각형이면, 두 밑각의 크기가 같다". 앞이 가정(공짜로 주어지는 재료), 뒤가 결론(도착해야 할 주소)이다.

Unfold the hidden conditional: "if a triangle is isosceles, then its base angles are equal." The front is the hypothesis (your free material), the back is the conclusion (the address to reach).

문제Problem 2 몸풀기Warm-up

명제 "두 각이 모두 직각이면 두 각의 크기는 같다"의 역을 쓰고, 참인지 거짓인지 반례와 함께 판정하여라.

Write the converse of "if two angles are both right angles, then they are equal," and decide whether it is true. Give a counterexample if it is false.

정답과 풀이Answer & solution

정답 · 역: "두 각의 크기가 같으면 두 각은 모두 직각이다" — 거짓 (반례:

30°

와

30°

)

Answer · Converse: "if two angles are equal, then both are right angles" — false (counterexample:

30°

and

30°

)

가정과 결론을 맞바꾸면 "두 각의 크기가 같으면 두 각은 모두 직각이다". $30°$ 짜리 각 두 개는 크기가 같지만 직각이 아니므로 거짓이다. 원래 명제는 참( $90° = 90°$ )이지만 역은 무너진다 — 명제와 역은 남남이다.

Swapping hypothesis and conclusion gives "if two angles are equal, then both are right angles." Two $30°$ angles are equal but not right, so the converse is false. The original statement is true ( $90° = 90°$ ), yet its converse collapses — statement and converse are strangers.

문제Problem 3 몸풀기Warm-up

주장 "모든 소수는 홀수다"에 대한 반례를 들어라.

Give a counterexample to the claim "every prime number is odd."

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

2

Answer ·

2

$2$ 는 소수이면서 짝수다 — 반례 하나로 주장은 끝난다. 덤으로, $2$ 는 이 주장의 유일한 반례이기도 하다: $2$ 보다 큰 짝수는 전부 $2$ 로 나누어떨어져 소수가 아니니까.

$2$ is prime and even — one counterexample and the claim is finished. As a bonus, $2$ is the only counterexample: every larger even number is divisible by $2$ , hence not prime.

문제Problem 4 몸풀기Warm-up

다음 문장이 이 과정에서 공리인지 정리인지 답하여라.

(a) 두 점을 지나는 직선은 오직 하나다. (b) 서로 다른 두 직선은 많아야 한 점에서 만난다. (c) $B$ 가 $A$ 와 $C$ 사이에 있으면 $AB + BC = AC$ 다.

For each sentence, say whether it is a postulate or a theorem in this course.

(a) Exactly one line passes through two given points. (b) Two different lines meet in at most one point. (c) If $B$ is between $A$ and $C$ , then $AB + BC = AC$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 · (a) 공리 (b) 정리 (c) 공리

Answer · (a) Postulate (b) Theorem (c) Postulate

(a)와 (c)는 증명 없이 출발점으로 받아들인 약속 — 공리다. (b)는 지난 차시에 (a)로부터 증명해서 얻었다 — 두 점에서 만난다면 그 두 점을 지나는 직선이 둘이 되어 (a)와 모순. 증명으로 얻은 문장이니 정리다.

(a) and (c) are agreements accepted without proof as starting points — postulates. (b) was proved from (a) last lesson: meeting twice would put two lines through the same two points, contradicting (a). A sentence earned by proof is a theorem.

핵심Core

이 차시의 목표 수준the target level for this lesson

문제Problem 5 핵심Core

명제 " $n$ 이 $6$ 의 배수이면 $n$ 은 $3$ 의 배수다"의 역·이·대우를 쓰고, 넷의 참·거짓을 각각 판정하여라. (거짓이면 반례를 들 것.)

For the statement "if $n$ is a multiple of $6$ , then $n$ is a multiple of $3$ ," write the converse, inverse, and contrapositive, and judge all four true or false. (Give a counterexample for each false one.)

정답과 풀이Answer & solution

정답 · 명제 참 · 역 거짓(

9

) · 이 거짓(

9

) · 대우 참

Answer · Statement true · converse false (

9

) · inverse false (

9

) · contrapositive true

명제: $6$ 의 배수이면 $3$ 의 배수 — 참 ( $6k = 3 \cdot 2k$ ).
역: $3$ 의 배수이면 $6$ 의 배수 — 거짓. 반례 $9$ : $3$ 의 배수지만 $6$ 의 배수가 아니다.
이: $6$ 의 배수가 아니면 $3$ 의 배수가 아니다 — 거짓. 같은 반례 $9$ .
대우: $3$ 의 배수가 아니면 $6$ 의 배수가 아니다 — 참 (명제와 운명 공동체).

역과 이가 반례를 공유하는 것은 우연이 아니다 — 이는 역의 대우라서 참·거짓이 늘 같다.

Statement: a multiple of $6$ is a multiple of $3$ — true ( $6k = 3 \cdot 2k$ ).
Converse: a multiple of $3$ is a multiple of $6$ — false. Counterexample $9$ : a multiple of $3$ but not of $6$ .
Inverse: if not a multiple of $6$ , then not a multiple of $3$ — false. Same counterexample, $9$ .
Contrapositive: if not a multiple of $3$ , then not a multiple of $6$ — true (it shares the statement's fate).

The converse and inverse sharing one counterexample is no accident — the inverse is the converse's contrapositive, so their truth values always match.

문제Problem 6 핵심Core

" $n$ 이 $9$ 의 배수이면 $n$ 의 각 자리 숫자의 합은 $9$ 의 배수다"는 참인 정리다. $7513$ 의 자리 숫자 합은 $7 + 5 + 1 + 3 = 16$ 이다. 이 정리로부터 $7513$ 에 대해 무엇을 결론할 수 있는가?

"If $n$ is a multiple of $9$ , then the sum of the digits of $n$ is a multiple of $9$ " is a true theorem. The digit sum of $7513$ is $7 + 5 + 1 + 3 = 16$ . What does the theorem let you conclude about $7513$ ?

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

7513

은

9

의 배수가 아니다

Answer ·

7513

is not a multiple of

9

정리의 대우는 "자리 숫자의 합이 $9$ 의 배수가 아니면, $n$ 은 $9$ 의 배수가 아니다"이고, 명제와 대우는 참·거짓을 같이하므로 이 대우도 참이다. $16$ 은 $9$ 의 배수가 아니므로 $7513$ 은 $9$ 의 배수가 아니다.

검산: $9 \times 834 = 7506$ , $9 \times 835 = 7515$ — $7513$ 은 그 사이에 있어 과연 $9$ 의 배수가 아니다 ✓.

The theorem's contrapositive — "if the digit sum is not a multiple of $9$ , then $n$ is not a multiple of $9$ " — is true, because a statement and its contrapositive share one fate. Since $16$ is not a multiple of $9$ , the number $7513$ is not a multiple of $9$ .

Check: $9 \times 834 = 7506$ and $9 \times 835 = 7515$ — $7513$ falls strictly between ✓.

문제Problem 7 핵심Core 서술형written response

어떤 학생이 정사각형을 이렇게 정의했다: "정사각형이란 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이다." 이 정의의 결함을 침입자의 예와 함께 지적하고, 정의를 고쳐 써라.

A student defines the square like this: "a square is a quadrilateral whose four sides all have the same length." Point out the flaw in this definition with an example of an intruder, and rewrite the definition.

힌트Hint

네 변이 같지만 정사각형이라 부르고 싶지 않은 사각형이 있는가?

Is there a four-equal-sided quadrilateral you would refuse to call a square?

풀이와 채점 기준Solution & grading notes

이 울타리는 너무 넓다. 네 변의 길이가 같아도 각이 직각이 아닌 사각형 — 찌그러진 마름모 — 이 침입한다. 각에 대한 조건이 빠졌기 때문이다.

고친 정의: "정사각형이란 네 변의 길이가 모두 같고 네 각이 모두 직각인 사각형이다." (같은 내용이면 표현은 달라도 좋다.)

채점 기준. ① 침입자(직각이 아닌 마름모)의 예 제시(1점) ② 빠진 조건이 각에 대한 조건임을 지적(1점) ③ 결함 없는 수정 정의 제시(1점). 논리가 맞는 다른 수정도 만점.

The fence is too wide. A quadrilateral can have four equal sides without right angles — a tilted rhombus — and it strolls right in. The definition forgot to say anything about the angles.

Repaired definition: "a square is a quadrilateral with four equal sides and four right angles." (Any equivalent wording is fine.)

Grading. ① An intruder exhibited (a non-right-angled rhombus) (1 pt) ② the missing condition identified as an angle condition (1 pt) ③ a sound repaired definition (1 pt). Any logically correct repair earns full credit.

문제Problem 8 핵심Core

다음 문장을 "~이면 ~이다" 꼴로 고쳐라.

(a) 직각삼각형에 둔각은 없다. (b) 한 직선 위에 있는 서로 다른 세 점 중 꼭 하나가 나머지 두 점 사이에 있다.

Rewrite each statement in if-then form.

(a) A right triangle has no obtuse angle. (b) Of three different points on a line, exactly one is between the other two.

정답과 풀이Answer & solution

정답 · (a) "삼각형이 직각삼각형이면, 그 삼각형에 둔각은 없다" (b) "서로 다른 세 점이 한 직선 위에 있으면, 그중 꼭 하나가 나머지 두 점 사이에 있다"

Answer · (a) "If a triangle is a right triangle, then it has no obtuse angle" (b) "If three different points lie on one line, then exactly one of them is between the other two"

(a) 가정: 삼각형이 직각삼각형이다. 결론: 둔각인 내각이 없다.

(b) 가정: 서로 다른 세 점이 한 직선 위에 있다. 결론: 그중 꼭 하나가 나머지 두 점 사이에 있다. — 참고로 (b)는 "사이"라는 말이 제대로 작동하도록 받쳐 주는, 실제 공리 목록에 오르곤 하는 문장이다.

(a) Hypothesis: the triangle is a right triangle. Conclusion: none of its angles is obtuse.

(b) Hypothesis: three different points lie on one line. Conclusion: exactly one of them is between the other two. — Statement (b), by the way, is the kind of sentence that often sits on the postulate list: it is what makes the word "between" behave.

문제Problem 9 핵심Core

다음 세 명제 중 역도 참인 것을 골라라. (나머지에 대해서는 역의 반례를 들 것.)

(a) 도형이 정사각형이면 직사각형이다. (b) $M$ 이 $\overline{AB}$ 의 중점이면, $M$ 은 $\overline{AB}$ 위에 있고 $AM = MB$ 다. (c) $x = 3$ 이면 $x^2 = 9$ 다.

Which of these three statements has a true converse? (For the other two, give counterexamples to the converse.)

(a) If a figure is a square, then it is a rectangle. (b) If $M$ is the midpoint of $\overline{AB}$ , then $M$ lies on $\overline{AB}$ and $AM = MB$ . (c) If $x = 3$ , then $x^2 = 9$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 · (b) — (a)의 역은 가로세로가 다른 직사각형, (c)의 역은

x = -3

이 반례

Answer · (b) — for (a)'s converse, any non-square rectangle; for (c)'s converse,

x = -3

(b)는 정의를 그대로 읽은 문장이라 양방향 모두 참이다 — 정의는 이름과 조건의 완전한 맞교환이니까.

(a)의 역 "직사각형이면 정사각형이다"는 가로 $2$ , 세로 $1$ 직사각형이 무너뜨린다. (c)의 역 " $x^2 = 9$ 이면 $x = 3$ 이다"는 $x = -3$ 이 무너뜨린다 — 제곱해서 $9$ 가 되는 수는 둘이다.

(b) is a definition read aloud, so it is true in both directions — a definition is a complete exchange between name and condition.

The converse of (a), "a rectangle is a square," is demolished by a $2 \times 1$ rectangle. The converse of (c), "if $x^2 = 9$ then $x = 3$ ," is demolished by $x = -3$ — two numbers square to $9$ .

도전Challenge

아이디어를 결합해야 풀리는 문제problems that take more than one idea

문제Problem 10 도전Challenge

어떤 학생이 "모든 자연수 $n$ 에 대해 $n^2 - n + 11$ 은 소수다"라고 주장한다. $n = 1$ 부터 차례로 확인하면 $11$ , $13$ , $17$ , $23$ , … 정말 소수가 계속 나온다. 이 주장의 반례가 되는 가장 작은 자연수 $n$ 을 구하여라.

A student claims: "for every natural number $n$ , the value $n^2 - n + 11$ is prime." Checking from $n = 1$ : $11$ , $13$ , $17$ , $23$ , … — primes keep coming. Find the smallest natural number $n$ that is a counterexample.

힌트Hint

$n^2 - n = n(n - 1)$ 이다. 두 인수가 모두 $11$ 의 배수가 되는 순간은 언제인가?

$n^2 - n = n(n-1)$ . When are both factors multiples of $11$ ?

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

n = 11

Answer ·

n = 11

$n = 1$ 부터 $10$ 까지의 값은 $11, 13, 17, 23, 31, 41, 53, 67, 83, 101$ — 전부 소수다. 그러나

n = 11: \quad 11^2 - 11 + 11 = 121 = 11 \times 11

은 소수가 아니다. 답은 $n = 11$ .

구조를 보면 필연이다: $n^2 - n + 11 = n(n-1) + 11$ 에서 $n = 11$ 이면 $n(n-1)$ 도 $11$ 의 배수라 전체가 $11$ 의 배수가 된다(그리고 $11$ 보다 크다). 사례 열 개가 줄지어 성립해도 증명이 아니라는 것 — 오일러가 남긴 유명한 식 $n^2 - n + 41$ 은 무려 $n = 40$ 까지 소수만 내놓다가 $n = 41$ 에서 같은 방식으로 무너진다.

For $n = 1$ through $10$ the values are $11, 13, 17, 23, 31, 41, 53, 67, 83, 101$ — all prime. But

n = 11: \quad 11^2 - 11 + 11 = 121 = 11 \times 11,

not prime. The answer is $n = 11$ .

The structure makes it inevitable: $n^2 - n + 11 = n(n-1) + 11$ , and at $n = 11$ the product $n(n-1)$ is itself a multiple of $11$ , so the whole expression is a multiple of $11$ (and larger than $11$ ). Ten cases in a row prove nothing — Euler's famous polynomial $n^2 - n + 41$ delivers primes all the way to $n = 40$ and collapses at $n = 41$ in exactly this way.

문제Problem 11 도전Challenge

카드 네 장이 놓여 있다. 모든 카드는 한 면에 알파벳, 반대 면에 수가 적혀 있다. 지금 보이는 면은 각각

\mathrm{A} \qquad \mathrm{K} \qquad 4 \qquad 7

이다. 규칙 "한 면이 모음이면 그 반대 면은 짝수다"가 지켜졌는지 확인하려 한다. 반드시 뒤집어 보아야 하는 카드를 모두 골라라.

Four cards lie on a table. Every card has a letter on one side and a number on the other. The faces showing are

\mathrm{A} \qquad \mathrm{K} \qquad 4 \qquad 7

You want to check the rule "if one side is a vowel, then the other side is even." Which cards must be flipped?

힌트Hint

규칙이 깨지는 장면은 단 한 가지 — 모음 뒤에 홀수. 그 장면을 숨길 수 있는 카드는 어느 것인가?

Only one scene breaks the rule — a vowel backed by an odd number. Which cards could be hiding that scene?

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

\mathrm{A}

와

7

Answer ·

\mathrm{A}

and

7

규칙이 깨지는 유일한 장면은 "모음의 뒷면이 홀수"다.

$\mathrm{A}$ (모음): 뒷면이 홀수면 규칙 붕괴 — 뒤집어야 한다.
$\mathrm{K}$ (자음): 규칙은 자음에 대해 아무 말도 하지 않는다 — 뒷면이 무엇이든 무관.
$4$ (짝수): 뒷면이 모음이든 자음이든 규칙 위반이 아니다. 규칙은 "모음 → 짝수"이지 그 역 "짝수 → 모음"이 아니다 — 여기가 함정이다.
$7$ (홀수): 뒷면이 모음이면 "모음 뒤에 홀수"가 되어 붕괴 — 뒤집어야 한다. (대우 "홀수 → 자음"의 검사다.)

답: $\mathrm{A}$ 와 $7$ . 심리학의 고전 실험(웨이슨 선택 과제)으로, 많은 사람이 $\mathrm{A}$ 와 $4$ 를 고른다 — 명제와 역의 혼동이 그만큼 자연스러운 착각이라는 뜻이다.

The only scene that breaks the rule is "a vowel with an odd number behind it."

$\mathrm{A}$ (vowel): an odd back would sink the rule — must flip.
$\mathrm{K}$ (consonant): the rule says nothing about consonants — its back is irrelevant.
$4$ (even): whatever letter is behind it, no violation. The rule says "vowel → even," not its converse "even → vowel" — this is the trap.
$7$ (odd): a vowel behind it would be "a vowel backed by odd" — must flip. (This is checking the contrapositive, "odd → consonant.")

Answer: $\mathrm{A}$ and $7$ . This is a classic psychology experiment (the Wason selection task), and most people pick $\mathrm{A}$ and $4$ — evidence of how natural the statement–converse mix-up is.

경시Contest

대회 스타일competition style

문제Problem 12 경시Contest

세 상자 $A$ , $B$ , $C$ 중 하나에 보석이 들어 있고, 각 상자에 쪽지가 붙어 있다.

$A$ 의 쪽지: "보석은 이 상자에 있다."
$B$ 의 쪽지: "보석은 이 상자에 없다."
$C$ 의 쪽지: "보석은 $A$ 상자에 없다."

쪽지 중 정확히 하나만 참이라면, 보석은 어느 상자에 있는가?

A jewel sits in exactly one of three boxes $A$ , $B$ , $C$ , and each box carries a note.

Note on $A$ : "The jewel is in this box."
Note on $B$ : "The jewel is not in this box."
Note on $C$ : "The jewel is not in box $A$ ."

If exactly one note is true, which box holds the jewel?

힌트Hint

보석의 위치는 세 경우뿐이다 — 전부 조사하라.

The jewel has only three possible locations — investigate them all.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

B

상자

Answer · Box

B

보석의 위치로 경우를 나눠 참인 쪽지 수를 센다.

보석 위치	$A$ 쪽지	$B$ 쪽지	$C$ 쪽지	참의 개수
$A$	참	참	거짓	$2$
$B$	거짓	거짓	참	$1$
$C$	거짓	참	참	$2$

"정확히 하나만 참"을 만족하는 행은 $B$ 뿐이다. 답: $B$ 상자.

세 경우를 전부 조사했으므로 답이 존재하고 유일하다는 것까지 한꺼번에 확인되었다 — 모든 경우를 훑는 것이 곧 증명이 되는 구조다.

Split into cases by the jewel's location and count true notes.

Jewel in	Note $A$	Note $B$	Note $C$	True count
$A$	true	true	false	$2$
$B$	false	false	true	$1$
$C$	false	true	true	$2$

Only the row for $B$ satisfies "exactly one true." Answer: box $B$ .

Because every case was examined, the check delivers existence and uniqueness in one stroke — exhausting the cases is the proof.

문제Problem 13 경시Contest

어느 섬의 주민은 늘 참만 말하는 참말족 아니면 늘 거짓만 말하는 거짓말족이다. 주민 하준과 서연을 만났는데, 하준이 이렇게 말했다.

"우리 둘은 모두 거짓말족입니다."

하준과 서연의 정체를 각각 밝혀라.

On a certain island every resident is either a truth-teller (always truthful) or a liar (always lying). You meet residents Hajun and Seoyeon, and Hajun says:

"We are both liars."

Determine what each of them is.

힌트Hint

하준이 참말족이라고 가정하면 무슨 일이 벌어지는가?

Suppose Hajun is a truth-teller — what happens?

정답과 풀이Answer & solution

정답 · 하준은 거짓말족, 서연은 참말족

Answer · Hajun is a liar; Seoyeon is a truth-teller

하준이 참말족이라 가정하자. 그러면 그 말이 참이어야 하는데, 말의 내용은 하준 자신이 거짓말족이라는 것 — 모순이다. 따라서 하준은 거짓말족이다.

거짓말족의 말은 거짓이므로 "둘 다 거짓말족"은 거짓이다 — 즉 적어도 한 명은 참말족이다. 하준은 아니므로 서연이 참말족이다.

검산: 하준(거짓말족)이 "둘 다 거짓말족"이라 말했다 — 실제로는 서연이 참말족이니 이 말은 거짓, 거짓말족이 거짓을 말한 것이 맞다 ✓. 참말족은 이 문장을 아예 말할 수 없다는 점이 이 퍼즐의 심장이다 — "그렇다고 치면 모순"으로 미는 논법이 여기서도 일한다.

Suppose Hajun is a truth-teller. Then his sentence must be true — but it says Hajun himself is a liar. Contradiction. So Hajun is a liar.

A liar's sentence is false, so "both of us are liars" is false — at least one of the two is a truth-teller. It isn't Hajun, so Seoyeon is the truth-teller.

Check: Hajun (liar) claimed "both are liars" — in fact Seoyeon tells the truth, so the claim is false, and a liar spoke falsely, as he must ✓. The heart of the puzzle: a truth-teller could never utter that sentence at all — the "suppose so, watch the contradiction" move working once again.