삼각비의 활용Applying Trigonometry

올려본각이 $45°$라는 것은 직각이등변 — 높이와 수평거리가 같다는 뜻이다. 각 하나로 두 길이가 묶였다.

An elevation of $45°$ means the triangle is isosceles right — height equals horizontal distance. One angle ties the two lengths together.

검산: $\tan 60° = \dfrac{5\sqrt3}{5} = \sqrt3$ ✓. $60°$는 가파른 관측 — 거리보다 높이가 $\sqrt3$배 크다.

Check: $\tan 60° = \dfrac{5\sqrt3}{5} = \sqrt3$ ✓. A $60°$ sight line is steep — the height beats the distance by a factor of $\sqrt3$.

검산 — 높이로: 변 $4$가 만드는 높이는 $4\sin 30° = 2$이고 $\frac12 \times 6 \times 2 = 6$ ✓.

Check via the height: side $4$ hangs a height of $4\sin 30° = 2$, and $\frac12 \times 6 \times 2 = 6$ ✓.

삼각형이 재는 것은 눈높이 위부터 꼭대기까지다:

탑 전체는 여기에 눈높이를 더해 $1.5 + 4\sqrt3 \approx 1.5 + 6.93 = 8.4\,\text{m}$.

눈높이를 빠뜨리면 $0.9\,\text{m}$ 넘게 어긋난다 — 측량 문제에서 "무엇부터 무엇까지의 삼각형인가"를 먼저 그려야 하는 이유다.

The triangle measures from eye level up to the top:

The full tower adds the eye height: $1.5 + 4\sqrt3 \approx 1.5 + 6.93 = 8.4\,\text{m}$.

Drop the eye height and the answer is off by nearly a meter — which is why every surveying problem starts by drawing which triangle, from where to where.

내려본각을 배의 위치에서 잰 올려본각으로 옮겨라.

Transfer the depression angle to the elevation angle measured at the boat.

절벽 위의 수평선과 해수면은 평행하므로, 내려본각 $30°$는 엇각에 의해 배에서 절벽 꼭대기를 올려본각 $30°$와 같다. 배의 자리에서 식을 세우면

검산: $\tan 30° = \dfrac{60}{60\sqrt3} = \dfrac{1}{\sqrt3}$ ✓.

The horizontal at the cliff top is parallel to the sea, so the $30°$ depression equals — by alternate angles — the boat's $30°$ elevation of the cliff top. Setting up at the boat:

Check: $\tan 30° = \dfrac{60}{60\sqrt3} = \dfrac{1}{\sqrt3}$ ✓.

빗변이 $8$로 주어졌으니 $\sin$과 $\cos$의 차례다:

검산: $(4\sqrt3)^2 + 4^2 = 48 + 16 = 64 = 8^2$ ✓. 거리가 주어지면 $\tan$, 빗변이 주어지면 $\sin \cdot \cos$ — 주어진 변이 공식을 고른다.

The hypotenuse is what's given, so $\sin$ and $\cos$ take over:

Check: $(4\sqrt3)^2 + 4^2 = 48 + 16 = 64 = 8^2$ ✓. Given the ground distance you'd use $\tan$; given the hypotenuse, $\sin$ and $\cos$ — the known side picks the formula.

평행사변형은 대각선으로 가르면 같은 삼각형 두 장이므로

검산 — 높이로: 변 $6$이 만드는 높이는 $6\sin 45° = 3\sqrt2$, 밑변 $7$과 곱해 $21\sqrt2$ ✓. ($45°$의 이웃 각은 $135°$지만 $\sin(180° - 135°) = \sin 45°$ — 어느 각을 써도 넓이는 같다.)

A diagonal cuts the parallelogram into two identical triangles, so

Check via the height: side $6$ hangs a height of $6\sin 45° = 3\sqrt2$; times the base $7$ gives $21\sqrt2$ ✓. (The neighboring angle is $135°$, but $\sin(180° - 135°) = \sin 45°$ — either angle yields the same area.)

정삼각형은 두 변이 $s$, $s$이고 끼인각이 $60°$이므로

— 특수 직각삼각형 차시에서 높이 $\dfrac{\sqrt3}{2}s$로 얻은 공식과 정확히 같다.

같아야 마땅하다: $\sin 60°$의 정의가 바로 그 높이 계산($30$-$60$-$90$의 긴 다리 비)을 담고 있기 때문이다. 새 공식은 새 사실이 아니라, 높이 계산을 $\sin$ 한 글자에 압축한 같은 계산의 포장이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• 끼인각 $60°$로 공식 적용 (1점)
• $\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$으로 정리 (1점)
• 두 공식이 같은 계산임을 지적 (1점)

An equilateral triangle has two sides $s$, $s$ with included angle $60°$, so

— exactly the formula obtained from the height $\dfrac{\sqrt3}{2}s$ in the special right triangles lesson.

And it must match: the definition of $\sin 60°$ contains that height computation (the long-leg ratio of the $30$-$60$-$90$). The new formula is not a new fact — it is the same computation with the height step compressed into one symbol.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• Applying the formula with the $60°$ included angle (1 pt)
• Simplifying to $\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$ (1 pt)
• Noting the two formulas are the same computation (1 pt)

$B$에서 밑동까지의 거리를 $x$로 놓고 식 두 개를 세워라.

Let $x$ be the distance from $B$ to the base and write two equations.

밑동까지 $B$에서의 거리를 $x$, 높이를 $h$라 하면:

빼면 $40 = h\sqrt3 - \dfrac{h}{\sqrt3} = h \cdot \dfrac{3 - 1}{\sqrt3} = \dfrac{2h}{\sqrt3}$이므로

검산: $x = \dfrac{20\sqrt3}{\sqrt3} = 20$, $x + 40 = 60$, $\tan 30° = \dfrac{20\sqrt3}{60} = \dfrac{\sqrt3}{3}$ ✓.

With $x$ the distance from $B$ to the base and $h$ the height:

Subtracting: $40 = h\sqrt3 - \dfrac{h}{\sqrt3} = h \cdot \dfrac{3 - 1}{\sqrt3} = \dfrac{2h}{\sqrt3}$, so

Check: $x = \dfrac{20\sqrt3}{\sqrt3} = 20$, $x + 40 = 60$, and $\tan 30° = \dfrac{20\sqrt3}{60} = \dfrac{\sqrt3}{3}$ ✓.

엇각으로 옮기면 $P$에서의 올려본각이 $45°$, $Q$에서는 $30°$다. 등대 밑에서의 거리는

두 배가 같은 방향에 있으므로

내려본각이 클수록 가까운 배다($45° > 30°$이므로 $P$가 가깝다) — 부호를 정하기 전에 어느 쪽이 가까운지부터 그림으로 확정할 것.

Transferred by alternate angles, the elevations are $45°$ at $P$ and $30°$ at $Q$. Distances from the lighthouse base:

Since the boats lie in the same direction,

The bigger depression angle marks the nearer boat ($45° > 30°$, so $P$ is closer) — settle who's nearer from the picture before subtracting.

둔각의 넓이 공식은 $\sin(180° - C)$를 쓴다.

For an obtuse included angle the area formula uses $\sin(180° - C)$.

넓이 — 끼인각이 둔각이므로

밑변 — 꼭지각의 이등분선(이등변의 축)이 삼각형을 $30$-$60$-$90$ 두 장으로 가른다. 반쪽에서 빗변 $6$, $60°$의 맞은편이 밑변의 절반:

검산: 축의 길이(높이)는 $6\cos 60° = 3$이고 $\frac12 \times 6\sqrt3 \times 3 = 9\sqrt3$ ✓.

Area — the included angle is obtuse, so

Base — the apex bisector (the isosceles axis) splits the triangle into two $30$-$60$-$90$s. In each half, the hypotenuse is $6$ and half the base sits opposite the $60°$:

Check: the axis (height) is $6\cos 60° = 3$, and $\frac12 \times 6\sqrt3 \times 3 = 9\sqrt3$ ✓.

지면 위의 삼각형(밑동, $A$, $B$)이 직각삼각형이다 — 두 수평거리를 높이 $h$로 나타내 피타고라스에 넣어라.

The ground triangle (base, $A$, $B$) is right-angled — express both horizontal distances in terms of $h$ and feed them to Pythagoras.

탑 밑동을 $T$라 하고 높이를 $h$라 하자. 두 관측이 수평거리를 준다:

$AB \perp TA$이므로 지면의 $\triangle TAB$는 $A$에서 직각 — 피타고라스로

검산: $TA = 15\sqrt2 \approx 21.2$, $TB = 15\sqrt6 \approx 36.7$, $TA^2 + 30^2 = 450 + 900 = 1350 = TB^2$ ✓.

수직 삼각형 두 개(삼각비)와 수평 삼각형 한 개(피타고라스)가 한 문제에 포개져 있다 — 단원의 두 주역이 함께 일하는 구도다.

Let $T$ be the tower's base and $h$ its height. The two observations give horizontal distances:

Since $AB \perp TA$, the ground triangle $TAB$ has its right angle at $A$ — Pythagoras:

Check: $TA = 15\sqrt2 \approx 21.2$, $TB = 15\sqrt6 \approx 36.7$, and $TA^2 + 30^2 = 450 + 900 = 1350 = TB^2$ ✓.

Two vertical triangles (trig ratios) stacked on one horizontal triangle (Pythagoras) — the unit's two protagonists working the same problem.

가까운 지점에서 밑동까지의 거리를 $x$로 놓고, $x$를 소거하라.

Let $x$ be the near station's distance to the base, and eliminate $x$.

가까운 지점에서 밑동까지의 거리를 $x$라 하면

첫 식에서 $x = \dfrac{h}{\tan\beta}$를 둘째에 넣으면

수치 확인. $\tan 30°\tan 60° = \dfrac{\sqrt3}{3} \times \sqrt3 = 1$(여각의 곱!), $\tan 60° - \tan 30° = \sqrt3 - \dfrac{\sqrt3}{3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}$:

— 이전 문제의 답과 일치한다. $\alpha < \beta$이므로 분모가 양수인 것도 공식이 스스로 챙긴다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 식 두 개를 정확히 세움 (1점)
• $x$ 소거와 $h$에 대한 정리 (1점)
• 수치 확인 (1점)

With $x$ the distance from the nearer station to the base,

Substituting $x = \dfrac{h}{\tan\beta}$ from the first into the second:

Numerical check. $\tan 30°\tan 60° = \dfrac{\sqrt3}{3} \times \sqrt3 = 1$ (complementary tangents!), and $\tan 60° - \tan 30° = \sqrt3 - \dfrac{\sqrt3}{3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}$:

— matching the previous problem. And since $\alpha < \beta$, the denominator stays positive: the formula minds its own sign.

Rubric (any logically correct derivation earns full credit)

• Setting up both equations correctly (1 pt)
• Eliminating $x$ and solving for $h$ (1 pt)
• The numerical check (1 pt)