삼각형 내각의 합The Triangle Angle Sum

내각합 정리로 $180 - 51 - 66 = 63°$.

검산: $51 + 66 + 63 = 180$ ✓.

By the angle sum theorem, $180 - 51 - 66 = 63°$.

Check: $51 + 66 + 63 = 180$ ✓.

직각삼각형의 두 예각은 서로 여각이다: $90 - 23 = 67°$.

검산: $90 + 23 + 67 = 180$ ✓.

The two acute angles of a right triangle are complementary: $90 - 23 = 67°$.

Check: $90 + 23 + 67 = 180$ ✓.

외각 정리로, 이웃하지 않는 두 내각의 합: $45 + 60 = 105°$.

검산: 그 외각과 이웃한 내각은 $180 - 45 - 60 = 75°$이고 $180 - 75 = 105°$ ✓ — 두 길이 같은 답을 낸다.

By the Exterior Angle Theorem, it equals the sum of the two remote interior angles: $45 + 60 = 105°$.

Check: the adjacent interior angle is $180 - 45 - 60 = 75°$, and $180 - 75 = 105°$ ✓ — both routes agree.

합 $180°$를 $1 : 2 : 3$으로 비례 배분한다. 몫 하나는 $180 \div 6 = 30$이므로 세 각은 $30°$, $60°$, $90°$.

검산: $30 + 60 + 90 = 180$ ✓. $90°$ 각을 품으므로 직각삼각형이다.

Split $180°$ in the ratio $1 : 2 : 3$. One share is $180 \div 6 = 30$, so the angles are $30°$, $60°$, $90°$.

Check: $30 + 60 + 90 = 180$ ✓. It contains a $90°$ angle: a right triangle.

내각합 정리로

세 각은 $2(25) = 50°$, $3(25) + 10 = 85°$, $25 + 20 = 45°$.

검산: $50 + 85 + 45 = 180$ ✓.

By the angle sum theorem,

The angles are $2(25) = 50°$, $3(25) + 10 = 85°$, and $25 + 20 = 45°$.

Check: $50 + 85 + 45 = 180$ ✓.

외각 정리로

외각은 $5(30) - 10 = 140°$.

검산: 먼 두 내각은 $75°$와 $65°$로 합이 $140°$ ✓. 이웃한 내각은 $180 - 140 = 40°$이고 $75 + 65 + 40 = 180$ ✓.

By the Exterior Angle Theorem,

The exterior angle is $5(30) - 10 = 140°$.

Check: the remote angles are $75°$ and $65°$, summing to $140°$ ✓. The adjacent interior angle is $180 - 140 = 40°$, and $75 + 65 + 40 = 180$ ✓.

두 예각의 합은 $90°$. $2 : 3$으로 배분하면 몫 하나는 $90 \div 5 = 18$이므로 $36°$와 $54°$.

검산: $36 + 54 = 90$ ✓, $\frac{36}{54} = \frac23$ ✓.

The acute angles sum to $90°$. Splitting in the ratio $2 : 3$, one share is $90 \div 5 = 18$, giving $36°$ and $54°$.

Check: $36 + 54 = 90$ ✓ and $\frac{36}{54} = \frac23$ ✓.

외각은 이웃 내각과 선형쌍이다 — 내각합 정리와 이으면 두 식이 같은 것과 같아진다.

The exterior angle forms a linear pair with its neighbor — connect that to the angle sum theorem and two expressions equal the same thing.

세 내각을 $a$, $b$, $c$라 하고, $c$와 이웃한 외각을 $d$라 하자.

"둘 다 $180°$와 같으니 서로 같고, 공통의 $c$를 지운다" — 맞꼭지각 정리부터 써 온 그 뼈대가 또 일한다.

채점 기준. ① 선형쌍 등식(1점) ② 내각합 등식(1점) ③ 추이성과 뺄셈으로 마무리 + 전 단계 근거(1점). 서술형도 논리가 완전하면 만점.

Let the interior angles be $a$, $b$, $c$, and let $d$ be the exterior angle adjacent to $c$.

"Both equal $180°$, hence each other; now cancel the shared $c$" — the same skeleton that has served since the vertical angles proof, working again.

Grading. ① The linear-pair equation (1 pt) ② the angle-sum equation (1 pt) ③ closes by transitivity and subtraction, reasons throughout (1 pt). A paragraph proof with complete logic earns full credit.

둔각의 정의부터 인용하라.

Start by quoting the definition of obtuse.

둔각은 $90°$보다 큰 각이다. 둔각이 둘이라면 그 두 각의 합만으로 이미

를 넘는다. 그런데 내각합 정리에 의해 세 각의 합이 정확히 $180°$여야 하므로, 나머지 한 각은 $0°$보다 작아야 한다 — 각의 크기가 될 수 없는 값이다. 모순이므로 둔각은 많아야 하나다.

(같은 논증으로 직각도 많아야 하나이고, 직각과 둔각이 공존할 수도 없다 — 전부 "두 각의 합이 벌써 $180°$ 이상"이라는 한 문장에서 나온다.)

채점 기준. ① 둔각의 정의($> 90°$) 인용(1점) ② 두 둔각의 합이 $180°$ 초과임을 지적(1점) ③ 내각합 정리와의 모순으로 마무리(1점).

An obtuse angle exceeds $90°$. Two obtuse angles would already sum past

But the angle sum theorem demands the three angles total exactly $180°$, which would force the third angle below $0°$ — no angle has such a measure. Contradiction, so at most one obtuse angle.

(The same argument caps right angles at one, and rules out a right angle coexisting with an obtuse one — all from the single sentence "two of the angles already reach $180°$ or more.")

Grading. ① Quotes the definition of obtuse ($> 90°$) (1 pt) ② notes two obtuse angles exceed $180°$ (1 pt) ③ closes with the contradiction against the angle sum theorem (1 pt).

삼각형 $IBC$의 내각합을 쓰라 — $\angle IBC$와 $\angle ICB$는 얼마의 절반들인가?

Use the angle sum in triangle $IBC$ — halves of what are $\angle IBC$ and $\angle ICB$?

내각합에서 $\angle B + \angle C = 180 - 40 = 140°$.

이등분선의 정의로 $\angle IBC = \frac{\angle B}2$, $\angle ICB = \frac{\angle C}2$이므로

삼각형 $IBC$에서 내각합을 다시 쓰면 $\angle BIC = 180 - 70 = 110°$.

$\angle B$와 $\angle C$가 각각 얼마인지 몰라도 답이 나온다는 것이 이 문제의 재미다 — 필요한 것은 둘의 합뿐이고, 합은 $\angle A$가 정해 준다. 일반화하면 $\angle BIC = 90° + \frac{\angle A}2$: 언제나 둔각이다.

From the angle sum, $\angle B + \angle C = 180 - 40 = 140°$.

By the definition of bisector, $\angle IBC = \frac{\angle B}2$ and $\angle ICB = \frac{\angle C}2$, so

The angle sum in triangle $IBC$ then gives $\angle BIC = 180 - 70 = 110°$.

The delight: the answer arrives without knowing $\angle B$ or $\angle C$ separately — only their sum matters, and $\angle A$ fixes the sum. In general $\angle BIC = 90° + \frac{\angle A}2$: always obtuse.

두 삼각형은 $P$에서 어떤 각을 공유하는가?

What angle do the two triangles share at $P$?

삼각형 $APC$에서 $\angle APC = 180 - 35 - 75 = 70°$. $\angle BPD$는 그 맞꼭지각이므로 역시 $70°$. 삼각형 $BPD$에서

검산 겸 관찰: $\angle A + \angle C = 110°$이고 $\angle B + \angle D = 110°$ — 같다. 맞꼭지각으로 이어진 두 삼각형("나비")에서는 언제나 한쪽의 두 끝각 합과 다른 쪽의 두 끝각 합이 같다. $P$의 각을 아예 거치지 않는 지름길이다.

In triangle $APC$, $\angle APC = 180 - 35 - 75 = 70°$. Its vertical angle $\angle BPD$ is also $70°$. Then in triangle $BPD$,

Check-and-observe: $\angle A + \angle C = 110°$ and $\angle B + \angle D = 110°$ — equal. In two triangles joined by vertical angles (the "bow tie"), the two far-angle sums always match — a shortcut that skips the angle at $P$ entirely.

뿔 하나를 품은 작은 삼각형을 보라 — 그 삼각형의 나머지 두 내각은 어떤 각들의 외각인가?

Look at one small triangle holding one point — whose exterior angles are its other two interior angles?

꼭짓점 $A$를 품은 작은 삼각형 하나를 보자. 이 삼각형의 나머지 두 내각은 별 안쪽 교차점에 있는데, 각각이 어떤 삼각형의 외각이다:

• 한 내각은 $B$와 $D$를 두 꼭짓점으로 갖는 삼각형의 외각 — 외각 정리로 $\angle B + \angle D$.
• 다른 내각은 $C$와 $E$를 두 꼭짓점으로 갖는 삼각형의 외각 — 외각 정리로 $\angle C + \angle E$.

이제 $A$의 삼각형에 내각합 정리를 쓰면

다섯 각이 전부 왼변에 모였다 — 합은 $180°$다. 어떤 수치도 쓰지 않았으므로 별이 아무리 삐뚤어도 성립한다. 외각 정리가 흩어진 각들을 한 삼각형으로 모으는 깔때기 노릇을 했다.

Take the small triangle holding vertex $A$. Its other two interior angles sit at inner crossings of the star, and each is an exterior angle of another triangle:

• one is an exterior angle of the triangle whose far vertices are $B$ and $D$ — by the Exterior Angle Theorem it equals $\angle B + \angle D$;
• the other is an exterior angle of the triangle with far vertices $C$ and $E$ — it equals $\angle C + \angle E$.

Now apply the angle sum theorem to $A$'s triangle:

All five angles have gathered on the left — the sum is $180°$. No measurements were used, so the result survives any amount of lopsidedness. The Exterior Angle Theorem acted as a funnel, pouring scattered angles into a single triangle.

삼각형 $BEC$에서 세 각을 $\angle B$, $\angle C$로 나타내 보라 — $C$의 외각은 $180° - \angle C$다.

Express the three angles of triangle $BEC$ in terms of $\angle B$ and $\angle C$ — the exterior angle at $C$ is $180° - \angle C$.

$\angle B = 2\beta$, $\angle C = \gamma$라 하자. 내각합에서 $2\beta + \gamma = 180 - 70 = 110°$.

삼각형 $BEC$의 세 각을 살핀다. $\angle EBC = \beta$(이등분선). $C$의 외각은 $180 - \gamma$이고 그 절반이 이등분선과 연장선 사이의 각이므로, $E$ 쪽에서 잰 $\angle BCE$는

내각합으로

여기서도 $\angle B$, $\angle C$ 개별 값은 끝내 필요 없었다 — 합 $110°$만 쓰였고, 그 합은 $\angle A$가 정한다. 일반화하면 $\angle BEC = \frac{\angle A}2$: 안쪽 이등분선 둘이 만나면 $90° + \frac{\angle A}2$(문제 10), 안 하나·바깥 하나면 $\frac{\angle A}2$ — 짝을 이루는 두 공식이다.

검산: $\angle B = 60°$, $\angle C = 50°$인 경우를 수치로 밟으면 $\angle EBC = 30°$, $\angle BCE = 90 + 25 = 115°$, $\angle BEC = 180 - 30 - 115 = 35°$ ✓.

Write $\angle B = 2\beta$ and $\angle C = \gamma$. The angle sum gives $2\beta + \gamma = 180 - 70 = 110°$.

Inspect triangle $BEC$. First, $\angle EBC = \beta$ (bisector). The exterior angle at $C$ is $180 - \gamma$, and its bisector splits it in half, so measured on $E$'s side,

The angle sum then gives

Once again the individual values of $\angle B$ and $\angle C$ were never needed — only their sum $110°$, which $\angle A$ dictates. In general $\angle BEC = \frac{\angle A}2$: two interior bisectors meet at $90° + \frac{\angle A}2$ (Problem 10), one interior and one exterior at $\frac{\angle A}2$ — a matched pair of formulas.

Check with numbers: if $\angle B = 60°$ and $\angle C = 50°$, then $\angle EBC = 30°$, $\angle BCE = 90 + 25 = 115°$, and $\angle BEC = 180 - 30 - 115 = 35°$ ✓.