닮음의 활용Using Similarity

넓이의 비는 닮음비의 제곱 $4 : 9$이므로

검산: $\dfrac{81}{36} = \dfrac94 = \left(\dfrac32\right)^2$ ✓. $36 \times \frac32 = 54$로 답하는 것이 대표 오답 — 넓이 층으로 갈 때는 제곱 엘리베이터.

Areas ride the squared ratio $4 : 9$:

Check: $\dfrac{81}{36} = \dfrac94 = \left(\dfrac32\right)^2$ ✓. Answering $36 \times \frac32 = 54$ is the classic miss — trips to the area floor take the squaring elevator.

평행한 햇빛이 만드는 두 직각삼각형은 AA 닮음이므로

검산: 높이 $:$ 그림자 $= 1.2 : 2 = 15 : 25 = 3 : 5$ ✓.

Parallel sunlight makes the two right triangles AA similar:

Check: height $:$ shadow $= 1.2 : 2 = 15 : 25 = 3 : 5$ ✓.

넓이비에서 길이 층으로 내려올 때는 제곱근:

둘레는 길이이므로 닮음비 그대로 $3 : 5$다. 층을 정리하면 — 길이·둘레·높이는 $3:5$, 넓이는 $9:25$, (입체라면) 부피는 $27:125$.

Descending from the area floor to the length floor takes square roots:

Perimeter is a length, so it carries the scale factor unchanged: $3 : 5$. The full ladder — lengths, perimeters, heights at $3:5$; areas at $9:25$; volumes (for solids) at $27:125$.

중선의 발(중점)까지의 거리를 닮음비로 표현하고, SAS 닮음을 노려라.

Express the distances to the midpoints through the scale factor, and aim for SAS similarity.

$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$(닮음비 $k$)에서 $\overline{BC}$, $\overline{B'C'}$의 중점을 각각 $M$, $M'$이라 하고, 중선 $\overline{AM}$과 $\overline{A'M'}$을 비교한다.

$\triangle ABM$과 $\triangle A'B'M'$에서:

• $\dfrac{A'B'}{AB} = k$ (닮음의 대응변).
• $\dfrac{B'M'}{BM} = \dfrac{\frac12 B'C'}{\frac12 BC} = \dfrac{B'C'}{BC} = k$ — 중점이 절반을 만들고, 절반끼리의 비는 원래의 비다.
• $\angle B = \angle B'$ (닮음의 대응각) — 두 변의 끼인각이다.

SAS 닮음으로 $\triangle ABM \sim \triangle A'B'M'$(닮음비 $k$)이고, 대응변에서

본문의 높이 정리와 나란한 증명이다 — 높이는 AA(직각 공짜), 중선은 SAS(중점이 비를 공짜로) — 닮은 도형의 어떤 대응 길이든 $k$를 탄다는 일반 원리의 두 기둥이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 비교할 두 삼각형 선택과 $B'M'/BM = k$ 논증 (1점)
• 끼인각 확인과 SAS 닮음 (1점)
• 대응변으로 결론 (1점)

Let $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ (ratio $k$), with $M$, $M'$ the midpoints of $\overline{BC}$, $\overline{B'C'}$; compare the medians $\overline{AM}$ and $\overline{A'M'}$.

In triangles $ABM$ and $A'B'M'$:

• $\dfrac{A'B'}{AB} = k$ (corresponding sides of the similarity).
• $\dfrac{B'M'}{BM} = \dfrac{\frac12 B'C'}{\frac12 BC} = \dfrac{B'C'}{BC} = k$ — midpoints make halves, and halves inherit the ratio.
• $\angle B = \angle B'$ (corresponding angles) — the included angle of those two sides.

SAS similarity gives $\triangle ABM \sim \triangle A'B'M'$ at ratio $k$, and corresponding sides yield

A proof parallel to the lesson's height theorem — heights ran on AA (free right angles), medians on SAS (midpoints hand over the ratio free) — the two pillars of the general principle that every corresponding length of similar figures rides $k$.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Choosing the triangles and arguing $B'M'/BM = k$ (1 pt)
• Verifying the included angle and SAS similarity (1 pt)
• Concluding via corresponding sides (1 pt)

대각선 하나가 사각형을 삼각형 둘로 가른다.

One diagonal splits the quadrilateral into two triangles.

닮은 사각형 $ABCD \sim A'B'C'D'$(닮음비 $k$)에 대각선 $\overline{AC}$, $\overline{A'C'}$을 긋는다.

닮음은 대응하는 모든 길이를 $k$배 하므로 $\triangle ABC$와 $\triangle A'B'C'$은 세 변의 비가 전부 $k$ — SSS 닮음이다. 마찬가지로 $\triangle ACD \sim \triangle A'C'D'$(닮음비 $k$).

삼각형의 $k^2$ 정리를 두 조각에 각각 적용하면

같은 논법이 오각형이든 백각형이든 통한다 — 삼각형으로 쪼개고, 조각마다 $k^2$을 붙이고, 다시 합치면 된다. "삼각형에 대해 증명하면 다각형은 분할이 공짜로 준다" — 내각합 정리 때와 같은 확장 전략이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 대각선 분할과 두 조각의 닮음(닮음비 $k$) 논증 (1점)
• 삼각형 $k^2$ 정리의 적용 (1점)
• 합산과 $k^2$ 묶어내기 (1점)

In similar quadrilaterals $ABCD \sim A'B'C'D'$ (ratio $k$), draw diagonals $\overline{AC}$ and $\overline{A'C'}$.

Similarity multiplies every corresponding length by $k$, so triangles $ABC$ and $A'B'C'$ have all three side ratios equal to $k$ — SSS similarity. Likewise $\triangle ACD \sim \triangle A'C'D'$ at ratio $k$.

Apply the triangle $k^2$ theorem to each piece:

The same argument serves pentagons or hundred-gons — triangulate, attach $k^2$ to each piece, reassemble. "Prove it for triangles and triangulation donates the polygon case" — the same expansion strategy as the interior angle sum.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The diagonal split and the two pieces' similarity at ratio $k$ (1 pt)
• Applying the triangle $k^2$ theorem (1 pt)
• Summing and factoring out $k^2$ (1 pt)

입사각 = 반사각 — 거울 양쪽의 두 직각삼각형이 AA 닮음이다.

Incidence equals reflection — the two right triangles flanking the mirror are AA similar.

빛의 반사에서 입사각과 반사각이 같으므로, 거울 지점 $M$ 양쪽의 두 직각삼각형 — (눈, 발, $M$)과 (꼭대기, 건물 밑, $M$) — 은 $M$에서의 각이 같고 직각을 하나씩 가져 AA 닮음이다.

검산: 높이 $:$ 수평거리 $= 1.6 : 2 = 24 : 30 = 4 : 5$ ✓. 그림자가 없는 흐린 날의 측량법 — 광학 법칙 하나(반사)가 닮음의 각 조건을 대 준다.

Light reflects with equal angles, so the two right triangles on either side of the mirror point $M$ — (eye, feet, $M$) and (rooftop, base, $M$) — share the angle at $M$ and carry one right angle each: AA similar.

Check: height $:$ ground distance $= 1.6 : 2 = 24 : 30 = 4 : 5$ ✓. The cloudy-day surveying method — one law of optics (reflection) supplies similarity's angle condition.

길이는 $50000$배, 넓이는?

Lengths scale by $50000$ — and areas?

길이 층에서 $1\,\text{cm}$는 실제 $50000\,\text{cm} = 500\,\text{m} = 0.5\,\text{km}$다. 넓이 층으로 올라가면

검산 — 배율로: 넓이 배율은 $50000^2 = 2.5 \times 10^9$이고 $4\,\text{cm}^2 \times 2.5 \times 10^9 = 10^{10}\,\text{cm}^2 = 10^6\,\text{m}^2 = 1\,\text{km}^2$ ✓. 축척을 넓이에 한 번만 곱하는 실수($4 \times 50000$)가 이 문제의 매복이다.

On the length floor, $1\,\text{cm}$ stands for $50000\,\text{cm} = 500\,\text{m} = 0.5\,\text{km}$. Riding up to the area floor,

Check by factors: the area factor is $50000^2 = 2.5 \times 10^9$, and $4\,\text{cm}^2 \times 2.5 \times 10^9 = 10^{10}\,\text{cm}^2 = 10^6\,\text{m}^2 = 1\,\text{km}^2$ ✓. The ambush here is applying the scale to area only once ($4 \times 50000$).

(1) 길이 배율 $0.7$의 제곱: $0.7^2 = 0.49$ — 넓이는 $49\%$.

(2) 배율은 곱으로 쌓인다(닮음의 추이성): 길이 $0.7 \times 0.7 = 0.49$($49\%$), 넓이 $0.49^2 = 0.2401$($24.01\%$).

"$70\%$ 축소 두 번이면 반 이하"라는 감각 — 종이에 잉크가 반의반으로 줄어드는 이유다. A4 문제의 $\sqrt2$ 종이 규격에서 $\frac{1}{\sqrt2} \approx 71\%$가 "한 단계 축소" 버튼의 정체라는 것도 여기서 보인다.

(1) Square the length factor: $0.7^2 = 0.49$ — the area is $49\%$.

(2) Factors compound multiplicatively (transitivity of similarity): length $0.7 \times 0.7 = 0.49$ ($49\%$), area $0.49^2 = 0.2401$ ($24.01\%$).

Two $70\%$ reductions leave under a quarter of the ink — and the $\sqrt2$ paper standard explains the copier's "one step down" button: $\frac{1}{\sqrt2} \approx 71\%$.

전체를 9로 놓아라.

Set the whole to 9.

잘라내기 원리로 $\triangle ADE \sim \triangle ABC$(닮음비 $\frac23$)이므로 넓이비는 $\left(\frac23\right)^2 = \frac49$다.

$[\triangle ABC] = 9$라 하면 $[\triangle ADE] = 4$, 사다리꼴은 나머지 $9 - 4 = 5$:

함정은 $4 : 9$로 답하는 것 — 문제가 묻는 상대는 전체가 아니라 나머지 조각이다. "전체를 $k^2$의 분모로 놓고 빼기" — 닮음 넓이 분할의 표준 두 걸음이다.

The cut principle gives $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (ratio $\frac23$), so the area ratio is $\left(\frac23\right)^2 = \frac49$.

Set $[\triangle ABC] = 9$: then $[\triangle ADE] = 4$ and the trapezoid holds the remaining $9 - 4 = 5$:

The trap is answering $4 : 9$ — the problem compares against the leftover piece, not the whole. "Denominate the whole by $k^2$, then subtract" — the standard two steps of similarity area splitting.

원끼리는 항상 닮음 — 넓이는 지름의 제곱을 따른다.

All circles are similar — area follows the square of the diameter.

원은 모두 닮음이므로 넓이는 지름의 제곱에 비례한다. 제곱끼리 비교하면

— $30\,\text{cm}$ 한 판이 더 많다($\pi/4$ 같은 공통 인수는 비교에 필요 없다).

지름이 $1.5$배면 양은 $2.25$배 — "큰 피자 한 판이 작은 피자 두 판을 이긴다"는 직관 밖 결과가 $k^2$ 사다리의 일상 버전이다. 검산 — 실제 넓이: $225\pi$ vs $200\pi$ ✓.

Circles are all similar, so area scales as the diameter squared. Compare squares:

— the single $30\,\text{cm}$ pie wins (shared factors like $\pi/4$ never affect the comparison).

A diameter $1.5\times$ larger means $2.25\times$ the pizza — "one big pie beats two small ones," the everyday face of the $k^2$ ladder. Actual areas: $225\pi$ vs $200\pi$ ✓.

닮음비는 $2$다. 무게는 (같은 재료이므로) 부피에 비례하고, 부피는 세 방향이 전부 $2$배로 늘어나 $2^3 = 8$배가 된다:

"두 배 크니 두 배 무겁겠지"($80\,\text{g}$)가 길이 층의 착각, "넓이니까 네 배"($160\,\text{g}$)가 한 층 모자란 답이다 — 무게·부피·재료량은 삼층($k^3$)에 산다. 코끼리의 다리가 몸에 비해 유난히 굵은 이유(무게는 $k^3$, 다리 단면적은 $k^2$으로 자라서)까지, 생물의 형태에도 이 사다리가 새겨져 있다.

The scale factor is $2$. Weight tracks volume (same material), and volume stretches in all three directions: $2^3 = 8$ times.

"Twice as big, twice as heavy" ($80\,\text{g}$) is the length-floor illusion; "area, so four times" ($160\,\text{g}$) stops one floor short — weight, volume, and material live on the third floor ($k^3$). It is even written into biology: elephants' legs are disproportionately thick because weight grows as $k^3$ while a leg's cross-section grows only as $k^2$.

"같은 높이 → 밑변 비 = 넓이 비"를 두 번, 층층이.

"Same height → base ratio = area ratio," twice, floor by floor.

전체 넓이를 $S$라 하고 두 층으로 내려간다.

층 1 — $\triangle ABD$와 $\triangle ABC$: 꼭짓점 $A$가 공통이고 밑변이 같은 직선 위 — 밑변 비가 넓이 비다:

층 2 — $\triangle ABE$와 $\triangle ABD$: 꼭짓점 $B$가 공통이고 밑변 $\overline{AE}$, $\overline{AD}$가 같은 직선 위:

검산 — 남는 조각들: $[\triangle EBD] = \frac13 \cdot \frac13 S = \frac19 S$이고 $\frac29 + \frac19 = \frac13 = [\triangle ABD]$ ✓. 비율 하나가 한 층씩 — "같은 높이" 도구를 사슬로 거는 이 수법이 넓이 비 문제의 만능 사다리다.

Call the whole area $S$ and descend two floors.

Floor 1 — $\triangle ABD$ vs $\triangle ABC$: shared apex $A$, bases on one line — base ratio is area ratio:

Floor 2 — $\triangle ABE$ vs $\triangle ABD$: shared apex $B$, bases $\overline{AE}$, $\overline{AD}$ on one line:

Check the leftovers: $[\triangle EBD] = \frac13 \cdot \frac13 S = \frac19 S$, and $\frac29 + \frac19 = \frac13 = [\triangle ABD]$ ✓. One ratio per floor — chaining the "same height" tool is the universal ladder for area-ratio problems.

피라미드의 "그림자 길이"는 밑면 중심부터 재야 꼭짓점 바로 아래에서 출발하는 셈이 된다.

Measuring the pyramid's "shadow" from the base's center makes it start directly below the apex.

피라미드의 꼭대기는 밑면의 중심 바로 위에 있으므로, 높이가 만드는 직각삼각형의 밑변은 중심에서 그림자 끝까지의 $96\,\text{m}$다. 막대의 직각삼각형과 AA 닮음(평행 광선)이므로

검산: 높이 $:$ 그림자 $= 2 : 3 = 64 : 96$ ✓.

전해지는 이야기로 탈레스(기원전 6세기)는 이 방법으로 — 어느 판본에서는 "그림자가 키와 같아지는 시각"이라는 더 영리한 특수 사례($k = 1$)로 — 쿠푸 피라미드의 높이를 재어 이집트인들을 놀라게 했다. 기하학이 "땅의 측량"이라는 이름 그대로 일하던 시절의 계산이, 닮음 두 정리로 지금 우리 손에서 재현된다. (실제 쿠푸 피라미드의 원래 높이는 약 $147\,\text{m}$다 — 문제의 수치는 계산용으로 고른 것이다.)

The pyramid's apex stands directly above the center of its base, so the right triangle made by its height has base $96\,\text{m}$ — center to shadow tip. AA similarity with the stick's triangle (parallel rays) gives

Check: height $:$ shadow $= 2 : 3 = 64 : 96$ ✓.

The story goes that Thales (6th century BC) measured the Great Pyramid this way — in one version by the cleverer special case of waiting until shadows equal heights ($k = 1$) — to the astonishment of the Egyptians. Geometry doing exactly what its name says, measuring the earth — replayed here with two similarity theorems. (The Great Pyramid's original height is about $147\,\text{m}$; these numbers are chosen for clean arithmetic.)