SSS와 SASSSS & SAS

(a)는 SSS, (b)는 SAS 그대로다. (c)는 각이 두 변 사이에 있지 않아 SAS가 아니다 — 이런 배열(SSA)이 합동을 보장하지 못하는 반례를 다음 차시에서 만난다. 조건의 철자만이 아니라 배열까지 확인해야 한다.

(a) is SSS and (b) is SAS, verbatim. (c) is not SAS — the angle isn't between the two sides. A counterexample showing this arrangement (SSA) can fail to force congruence arrives next lesson. Check the arrangement, not just the letters.

$\angle B$는 변 $AB$와 $BC$ 사이에, $\angle E$는 변 $DE$와 $EF$ 사이에 끼어 있다 — 변–각–변 샌드위치가 완성되어 SAS다. 대응은 $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$이므로 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

$\angle B$ is included between sides $AB$ and $BC$, and $\angle E$ between $DE$ and $EF$ — the side–angle–side sandwich is complete: SAS. The correspondence is $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$, so $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

변 셋이 전부 같으니 SSS인데, 대응을 길이가 맞물리게 읽어야 한다. $AB = EF$에서 $A \leftrightarrow E$, $B \leftrightarrow F$가, $BC = FD$에서 $C \leftrightarrow D$가 나온다($CA = DE$와도 정합 ✓). 따라서 $\triangle ABC \cong \triangle EFD$ — $\triangle DEF$라고 쓰면 틀린 선언이 된다.

All three sides match, so SSS — but the correspondence must follow the lengths. From $AB = EF$ we get $A \leftrightarrow E$, $B \leftrightarrow F$; from $BC = FD$, $C \leftrightarrow D$ (consistent with $CA = DE$ ✓). Hence $\triangle ABC \cong \triangle EFD$ — writing $\triangle DEF$ would be a false declaration.

SSS — 세 변의 길이가 삼각형의 모양을 완전히 결정하므로, 변의 길이가 고정된 삼각형 구조는 찌그러질 다른 모양이 아예 없다. 사각형은 네 변이 같아도 여러 모양(직사각형, 기운 평행사변형, …)이 가능해서 밀면 무너진다.

SSS — three side lengths completely determine a triangle's shape, so a triangle of fixed rods has no other shape available to collapse into. A quadrilateral with the same four sides admits many shapes (rectangle, leaning parallelogram, …), which is why it slumps when pushed.

대각선 $\overline{AC}$에 대해 $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ (SSS — $AB = AD$, $CB = CD$, $AC$ 공통·반사성). 대응각으로

수확을 한 줄로 읽으면 — 연 모양에서 대각선 $AC$는 $\angle A$의 이등분선이다.

Across the diagonal $\overline{AC}$, $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ (SSS — $AB = AD$, $CB = CD$, and $AC$ shared, by reflexivity). Corresponding angles give

Read the harvest as one sentence — in a kite, the diagonal $AC$ bisects $\angle A$.

$\angle A$는 $AB$와 $AC$의 끼인각, $\angle D$는 $DE$와 $DF$의 끼인각이므로 SAS로 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$. 대응변으로

합동 조건이 먼저 다리를 놓고, 대응이 값을 건너 나른다.

$\angle A$ is included between $AB$ and $AC$, and $\angle D$ between $DE$ and $DF$, so $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ by SAS. Corresponding sides give

The criterion builds the bridge; the correspondence carries the value across.

$\angle A$는 변 $AB$와 $AC$의 끼인각이지, 주어진 두 변 $AB$와 $BC$의 끼인각이 아니다($AB$·$BC$의 끼인각은 $\angle B$다). 배열이 변–변–각(SSA)이므로 SAS가 성립하지 않고, 지금 가진 조건으로는 합동을 선언할 수 없다 — 이 배열이 실제로 실패하는 반례가 다음 차시에 나온다.

$\angle A$ is included between sides $AB$ and $AC$ — not between the given pair $AB$ and $BC$ (their included angle is $\angle B$). The arrangement is side–side–angle (SSA), so SAS does not apply, and no criterion we own can declare congruence here — a counterexample where this arrangement genuinely fails appears next lesson.

그림에 각이 하나도 주어지지 않았다 — 공짜 각은 어디서 나오는가?

No angle is given anywhere — where does a free angle come from?

$\blacksquare$

채점 기준. ① 중점의 정의에서 변 두 쌍 추출(1점) ② 맞꼭지각으로 끼인각 확보(1점) ③ SAS 선언(올바른 대응)과 대응변 수확(1점). 재료 순서·표기가 달라도 논리가 완전하면 만점.

$\blacksquare$

Grading. ① Extracts both side pairs from the midpoint definition (1 pt) ② secures the included angle via vertical angles (1 pt) ③ declares SAS with a correct correspondence and harvests the sides (1 pt). Different ordering or notation earns full credit if the logic is complete.

$MA = MA'$, $MB = MB'$(그렇게 표시했다)이고 $\angle AMB = \angle A'MB'$(맞꼭지각). SAS로 $\triangle MAB \cong \triangle MA'B'$이고, 대응변으로 $A'B' = AB$.

물 위를 건너지 않고 뭍에서 $A'B'$을 재면 그것이 곧 $AB$다 — 합동은 잴 수 없는 거리를 잴 수 있는 곳으로 복제해 오는 기술이다. 예제의 증명이 그대로 측량 도구가 된 셈이다.

$MA = MA'$ and $MB = MB'$ (that is how the points were marked), and $\angle AMB = \angle A'MB'$ (vertical angles). By SAS, $\triangle MAB \cong \triangle MA'B'$, and corresponding sides give $A'B' = AB$.

Walk on dry land, measure $A'B'$, and you have $AB$ — congruence is a technique for cloning an unmeasurable distance into a measurable place. The lesson's proof turned surveying tool.

$AE$와 $BF$를 각각 어느 삼각형의 변으로 볼 것인가?

Of which triangles can $AE$ and $BF$ be seen as sides?

$\triangle ABE$와 $\triangle BCF$를 비교한다:

• $AB = BC$ — 정사각형의 변
• $\angle ABE = \angle BCF = 90°$ — 정사각형의 각
• $BE = CF$ — 주어진 조건

끼인각이 맞으므로 SAS로 $\triangle ABE \cong \triangle BCF$, 대응변으로 $AE = BF$.

한 삼각형을 정사각형 중심으로 $90°$ 돌리면 다른 삼각형에 포개진다 — 합동 조건은 그 회전을 눈으로 보지 않고도 종이 위에서 확정해 주는 장치다.

Compare $\triangle ABE$ and $\triangle BCF$:

• $AB = BC$ — sides of the square
• $\angle ABE = \angle BCF = 90°$ — angles of the square
• $BE = CF$ — given

The angles are included, so $\triangle ABE \cong \triangle BCF$ by SAS, and corresponding sides give $AE = BF$.

Rotate one triangle a quarter turn about the square's center and it lands on the other — the criterion certifies that rotation on paper, no turning required.

$\triangle ABM$과 $\triangle ACM$부터. (2)에서는 같은 두 각이 선형쌍이면 어떻게 되는지 생각하라.

Start with $\triangle ABM$ and $\triangle ACM$. For (2), ask what happens when two equal angles form a linear pair.

같은 합동 하나(④)에서 결론 두 개가 나왔다 — 재료비는 한 번, 수확은 두 번. "같은 두 각이 선형쌍이면 각각 $90°$"라는 ⑥–⑧의 작은 논법은 앞으로도 자주 쓰인다.

채점 기준. ① SSS 합동까지(공통변 반사성 포함)(1점) ② (1)을 대응각으로 수확(1점) ③ (2)를 선형쌍+등식으로 마무리(1점).

One congruence (④), two conclusions — ingredients paid once, harvested twice. The little move in ⑥–⑧, "equal angles in a linear pair are each $90°$," will serve again and again.

Grading. ① Reaches the SSS congruence, shared side by reflexivity (1 pt) ② harvests (1) as corresponding angles (1 pt) ③ finishes (2) with the linear pair and algebra (1 pt).

$\angle BAE$와 $\angle DAG$는 같은 각에 대해 어떤 관계인가?

How are $\angle BAE$ and $\angle DAG$ related to one and the same angle?

$\triangle ABE$와 $\triangle ADG$를 비교한다. $AB = AD$(큰 정사각형의 변), $AE = AG$(작은 정사각형의 변). 끼인각이 남는다:

두 각이 같은 각 $\angle BAG$의 여각이므로, 같은 각의 여각 정리로 $\angle BAE = \angle DAG$. 이제 SAS로 $\triangle ABE \cong \triangle ADG$이고, 대응변으로 $BE = DG$.

작은 정사각형을 $A$ 중심으로 돌려도 $BE = DG$는 유지된다 — 재료 세 개(변·변·여각 관계) 어느 것도 회전에 흔들리지 않기 때문이다. U2의 여각 정리가 합동의 끼인각을 만들어 주는 다리 노릇을 했다.

Compare $\triangle ABE$ and $\triangle ADG$. $AB = AD$ (sides of the big square) and $AE = AG$ (sides of the small one). The included angles remain:

Both are complements of the same angle $\angle BAG$, so the Congruent Complements Theorem gives $\angle BAE = \angle DAG$. Now SAS yields $\triangle ABE \cong \triangle ADG$, and corresponding sides give $BE = DG$.

Spin the small square about $A$ and $BE = DG$ persists — none of the three ingredients (side, side, complement relation) is disturbed by the rotation. Unit 2's complements theorem served as the bridge that manufactured the included angle.

$\triangle OAB$와 $\triangle O'A'B'$의 세 변을 절차에서 찾아라.

Find the three sides of $\triangle OAB$ and $\triangle O'A'B'$ inside the procedure.

절차가 만든 두 삼각형 $\triangle OAB$와 $\triangle O'A'B'$의 세 변을 검사한다:

• $OA = O'A'$이고 $OB = O'B'$ — ①과 ②·③에서 같은 반지름의 원호 위 점들이므로.
• $AB = A'B'$ — ③에서 컴퍼스가 $A$, $B$ 사이 거리를 그대로 옮겼으므로.

SSS로 $\triangle OAB \cong \triangle O'A'B'$이고, 대응각으로 $\angle A'O'B' = \angle AOB = \angle O$.

각도기는 각을 재지만, 컴퍼스는 각을 삼각형으로 번역해 통째로 옮긴다 — 그 번역의 정당성이 SSS다. 자와 컴퍼스 작도가 "왜 되는가"는 언제나 어떤 합동·성질의 증명 문제이고, 이것이 그 첫 사례다.

채점 기준. ① 반지름 논거로 두 쌍의 변이 같음을 확인(1점) ② 옮긴 거리로 셋째 변 확인(1점) ③ SSS 선언과 대응각 수확(1점).

Inspect the three sides of the two triangles the procedure built, $\triangle OAB$ and $\triangle O'A'B'$:

• $OA = O'A'$ and $OB = O'B'$ — all four are radii of equal-radius arcs, from ① and ②–③.
• $AB = A'B'$ — step ③ carried the distance from $A$ to $B$ unchanged.

By SSS, $\triangle OAB \cong \triangle O'A'B'$, and corresponding angles give $\angle A'O'B' = \angle AOB = \angle O$.

A protractor measures an angle; a compass translates the angle into a triangle and moves it whole — and SSS is what legitimizes the translation. Why any straightedge-and-compass construction works is always a congruence-or-property proof in disguise, and this is the first instance.

Grading. ① Confirms the two side pairs by the radius argument (1 pt) ② confirms the third side by the carried distance (1 pt) ③ declares SSS and harvests the corresponding angle (1 pt).